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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{4 novembre  2014}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\ session  4 novembre 2014\\ Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les questions $1,\: 2,\: 3$ sont indépendantes.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item En informatique, pour coder les lettres de l'alphabet, l'un des premiers codes utilisés a été le code ASCII. 

Par exemple le caractère \og a \fg{} est codé en ASCII par le nombre 97 (en écriture décimale), qui correspond dans le système binaire (ou base deux) au nombre 1100001. 

\medskip

On donne ci-dessous un extrait de la table ASCII, le code étant donné en écriture décimale: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
lettre	&a	&b	&c	&d		&e	&f	&g	&h	&i	&j	&k	&l	&m\\  \hline 
code	&97	&98	&99	&100 	&101&102&103&104&105&106&107&108&109\\ \hline
\multicolumn{14}{c}{~}\\ \hline
lettre	&n	&o	&p	&q	&r	&s	&t	&u	&v	&w	&x	&y	&z\\ \hline   
code 	&110&111&112&113&114&115&116&117&118&119&120&121&122\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
   
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la lettre qui est codée, en ASCII, par le nombre 1101101 écrit en binaire. 
		\item Écrire en binaire le codage ASCII de la lettre \og j \fg. 
	\end{enumerate}
\item Pour coder une couleur, on utilise souvent le code RVB. Le principe est de donner pour cette couleur l'intensité de ses trois composantes Rouge, Vert, Bleu en hexadécimal (base seize) ou en écriture décimale (base dix). 

Pour l'intensité, on utilise une échelle allant de $00$ à FF en hexadécimal, c'est-à-dire de 0 à 255 en écriture décimale. 

\medskip

Par exemple: la couleur \og lilas \fg{} est codée (A5~;~44~;~B9) en hexadécimal ou (165~;~68~;~185) en écriture décimale. Ceci signifie qu'en hexadécimal, l'intensité du rouge est A5, celle du vert est 44 et celle du bleu est B9. 
	\begin{enumerate}
		\item La couleur \og or \fg{} est codée en écriture décimale (255~;~215~;~0). 

Déterminer son codage en hexadécimal. 
		\item La couleur \og brun \fg{} est codée en hexadécimal (5B~;~3C~;~11). 

Déterminer son codage en écriture décimale. 
	\end{enumerate}
\item Pour réaliser certaines applications en assembleur, il faut effectuer des opérations sur les nombres entiers en base deux. Deux telles opérations sont proposées ci-après. 
	\begin{enumerate}
		\item 10111 et 1101 sont deux nombres écrits en base deux. 

Calculer leur somme en base deux. 
		\item Le nombre $R = 10111010101$ est écrit en base deux. 

Écrire le nombre décimal 8 en base deux. Le résultat est noté $S$.

Déterminer en base deux le produit $R \times S$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Au cours d'un stage, un étudiant en BTS SIO a développé un jeu pour téléphone portable. 

Le jeu comprend quatre étapes, notées A, B, C, D. 

Le joueur commence à l'étape A puis, selon l'indice découvert, passe à une autre étape. Les possibilités de passage d'une étape à l'autre sont données par le graphe orienté G ci-contre, dont les sommets A, B, C, D modélisent les étapes, et les flèches les possibilités de passage d'une étape à une autre.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=4pt 2.5}
\begin{pspicture}(5,4)
%\psgrid
\rput(0.5,2){A}\rput(3,2){B}\rput(4.5,3.5){C}
\rput(4.5,0.5){D}
\psline{->}(0.65,2)(2.8,2) \psline{->}(0.7,2.1)(4.3,3.4) \psline{->}(0.7,1.9)(4.3,0.5) \psline{->}(4.2,3.2)(3.1,2.2) \psline{->}(3.2,1.9)(4.2,0.7) 
\end{pspicture}} 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la matrice d'adjacence M de ce graphe orienté, en considérant les quatre sommets A, B, C, D dans cet ordre. 
\item  On donne $M^2 = \begin{pmatrix}0&1&0&1\\0&0&0 &0\\0&0&0&1   \\0&0&0&0\end{pmatrix}$   
	\begin{enumerate}
		\item Citer tous les chemins de longueur 2.   
		\item Déterminer la matrice $M^4$ ; cette matrice peut être obtenue à la calculatrice. 

Interpréter le résultat dans le contexte du jeu. 
	\end{enumerate}
\item Existe-t-il un chemin hamiltonien ? Si oui, le donner. 
\item On note $M^{[n]}$ la $n$-ième puissance booléenne de la matrice $M$, et $\oplus$ l'addition booléenne de deux matrices. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $M' = M \oplus M^{[2]} \oplus  M^{[3]} \oplus  M^{[4]}$. 
		\item Donner la représentation géométrique du graphe $G’$ dont la matrice d'adjacence est $M’$. 
		\item Interpréter dans le contexte du jeu la dernière ligne de la matrice $M’$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip 

Les trois parties A, B et C sont indépendantes. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans une société de service informatique, chaque client possède un numéro noté $n$, où $n$ est un entier naturel non nul. 

La notation $a \equiv b\:\: [k]$ signifie que le nombre $a$ est congru au nombre $b$ modulo $k$. 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si $n \equiv 0 \:\: [6]$, alors le client est suivi par le technicien A ; 
\item[$\bullet~~$] si $n \equiv 1\:\: [6]$ alors le client est suivi par le technicien B ; 
\item[$\bullet~~$] si $n \equiv 2\:\: [6]$ alors le client est suivi par le technicien C ; 
\item[$\bullet~~$] si $n \equiv 3\:\:  [6]$ alors le client est suivi par le technicien D ; 
\item[$\bullet~~$] dans les autres cas, le client est suivi par le technicien E. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par quel technicien est suivi le client numéro 51 ? Justifier la réponse. 
\item Le client numéro 23 est-il suivi par technicien E ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

Pour permettre aux clients de la société d'accéder à leurs factures, le service comptable attribue un code à chacun d'entre eux. 

Pour tout entier naturel $n$, le code attribué au client numéro $n$ se calcule avec la formule 

\[x + n y + n^2 z,\]

 où $x, y$ et $z$, sont trois nombres que les questions suivantes vont permettre de déterminer. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que le client numéro 1 a pour code le nombre 12, que le client numéro 2 a pour code le nombre 27 et que le client numéro 3 a pour code le nombre 50, écrire un système de trois équations vérifié par les nombres $x, y$ et $z$. 
\item On donne les matrices $X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&9\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}12\\27\\50\end{pmatrix}$.

Le système précédent s'écrit alors sous la forme matricielle : $M \times  X = Y$. 

Résoudre ce système revient à déterminer la matrice $X$, ce que proposent les questions suivantes. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $P = \begin{pmatrix}3& -3& 1\\ - 2,5& 4& -1,5\\0,5 &-1& 0,5 \end{pmatrix}$. Calculer le produit matriciel $P \times M$. 
		\item En déduire que si $M \times X =Y$ alors $X = P \times Y$. 
		\item Déterminer alors les nombres $x, y$ et $z$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip	
	
\textbf{Partie C}

\medskip 

Dans la société, pour modéliser les critères de recrutement aux postes de conseillers, on définit pour chaque postulant les trois variables booléennes $a, b$ et $c$, ainsi définies : 

$\bullet~~$$a = 1$ si le postulant a eu un entretien favorable avec le DRH (directeur des ressources humaines), $a = 0$ sinon ; 

$\bullet~~$$b = 1$ si le postulant a réussi un concours interne, $b = 0$ sinon; 

$\bullet~~$$c = 1$ si le postulant a été parrainé par un cadre, $c = 0$ sinon. 

Les critères de recrutement sont définis par l'expression booléenne $E$ suivante : 

\[E = ac + b\overline{c} + ab.\]
 
\begin{enumerate}
\item Écrire une phrase traduisant ces critères de recrutement. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'un diagramme de Karnaugh ou à l'aide d'un calcul booléen, donner une écriture simplifiée de l'expression booléenne $E$ sous la forme d'une somme de deux termes. 
		\item Écrire une phrase correspondant à la simplification précédente de l'expression booléenne $E$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}