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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{mai  2014}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole session  mai 2014~\decofourright\\Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Un lycée a été doté de postes informatiques et de logiciels.
 
Le proviseur envisage de transformer une salle de cours en salle informatique. Pour cela, le responsable du projet définit les tâches à réaliser avec leur durée.
 
Le tableau suivant regroupe l'ensemble de ces données.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Tâche à réaliser} 
&\textbf{Repère}& \textbf{Durée en jours}& \textbf{Tâches précédentes}\\\hline 
Vider la salle de cours et démonter le matériel inutilisé.&A&2&--\\ \hline 
Nettoyer et repeindre la salle.& B& 4& A\\ \hline 
Installer les tables et fixer un tableau.& C& 1& B\\ \hline 
Commander et réceptionner le matériel de câblage.& D& 10& --\\ \hline
Déballer et contrôler le matériel de câblage livré.& E& 1& D\\ \hline 
Câbler la salle.& F& 3& B, E\\ \hline 
Installer et brancher les postes informatiques.& 
G& 
1& 
C, F\\ \hline 
Installer les logiciels, configurer les postes et tester leur fonctionnement.&
H& 
7& 
G\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Le but de cet exercice est d'ordonner la réalisation de ces tâches de façon à ce que la salle soit disponible le plus rapidement possible.
 
On considère le graphe orienté correspondant aux conditions d'antériorité données par le tableau précédent.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le niveau de chacun des sommets du graphe. 
\item Donner le tableau des successeurs. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le graphe d'ordonnancement du projet (selon la méthode P.E.R.T. ou M.P.M.) 

Déterminer pour chaque tâche les dates au plus tôt et au plus tard. 
		\item En déduire le chemin critique et la durée minimale de réalisation du projet.
	\end{enumerate} 
\item En fait, la réalisation de la tâche B a nécessité $10$ jours au lieu de $4$ car il a fallu enduire un mur et le laisser sécher avant de le peindre.
 
Ce changement a-t-il une incidence sur la durée du projet ? Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2  \hfill 5 points}

\medskip
 
La loi de Moore, énoncée en 1975 par Gordon Moore, co-fondateur de la société Intel, prévoit que le nombre de transistors des micro-processeurs proposés à la vente au grand public double tous les 2 ans. Les micro-processeurs fabriqués en 1975 comportaient \np{9000} transistors.

\medskip
 
Pour modéliser cette loi de Moore, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \np{9000}$ et $u_{n+1} = 2u_{n}$ pour tout entier naturel $n$. 

\medskip

Un terme $u_{n}$ de cette suite correspond au nombre de transistors prévus par la loi de Moore pour un micro-processeur fabriqué lors de l'année $1975 + 2n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ puis interpréter ces nombres. 
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 

Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer le nombre de transistors prévus par la loi de Moore pour un micro-processeur fabriqué en 2001. 
\item Selon ce modèle, à partir de quelle année les micro-processeurs intégreront-ils plus de $100$~milliards de transistors ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décomposer le nombre $\np{2014}$ en produit de facteurs premiers. 
		\item En déduire la liste des diviseurs positifs de $\np{2014}$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer le PGCD des nombres $\np{2014}$ et $212$. On note $d$ ce PGCD.
 
Déterminer l'entier $p$ tel que : $\np{2014} = p \times d$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un jury de concours doit établir l'ordre de passage des 2014 candidats qui doivent passer une épreuve orale. Le président du jury envisage la procédure automatique décrite ci-après.
 
Tout d'abord, il classe les \np{2014} candidats par ordre alphabétique et attribue à chacun, en suivant cet ordre, un numéro allant de 1 à \np{2014}. Ainsi, pour définir un ordre de passage à l'oral des candidats il suffit de dresser la liste des numéros des candidats qui seront appelés l'un après l'autre à passer l'épreuve orale.
 
Pour établir cette liste, le président du jury choisit un entier $n$ compris entre 1 et $400$, puis procède de la manière suivante: 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le premier numéro inscrit sur la liste est le nombre $n$ ; 
\item[$\bullet~~$] le deuxième numéro inscrit sur la liste est le nombre $2 n$ ; 
\item[$\bullet~~$] le troisième numéro inscrit est le nombre $3 n$ ; 
\item[$\bullet~~$] de façon générale, pour obtenir chaque numéro inscrit à partir du deuxième, on ajoute $n$ au numéro précédent et : 
\setlength\parindent{12mm}
	\begin{itemize}
		\item si la somme $s$ obtenue est inférieure ou égale à \np{2014}, le numéro inscrit est égal à cette somme $s$ ; 
		\item sinon, le numéro inscrit est égal à $s - \np{2014}$.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Par exemple, en choisissant la valeur $n = 257$, les premiers numéros inscrits sur la liste sont, dans l'ordre :
 
\[257 \text{--} 514 \text{--} 771 \text{--} \np{1028} \text{--} \np{1285} \text{--} \np{1542} \text{--} 1799 \text{--} 42 \text{--} 299 \text{--} 556 \text{--} ... \text{--}\: \text{etc.}\]
 
En effet :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le premier numéro inscrit est $n = 257$ ; 
\item[$\bullet~~$] du 2\up{e} numéro (égal à 514) au 7\up{e} numéro (égal à \np{1799}), on a ajouté 257 au numéro précédent puisque la somme ne dépassait pas \np{2014} ; 
\item[$\bullet~~$] le 8\up{e} numéro inscrit est le numéro 42 car $\np{1799} + 257 = \np{2056}$ et, comme \np{2056} dépasse \np{2014}, le numéro à inscrire est $\np{2056}- \np{2014} = 42$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Ainsi le candidat 257 passera en premier l'oral ; il sera suivi du candidat 514 et ainsi de suite.
 
Le président du jury se demande si cette procédure permet de convoquer tous les candidats, c'est-à-dire si la liste obtenue, en \np{2014} étapes, contient tous les nombres de 1 à \np{2014}. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, le président du jury choisit $n = 212$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les 9 premiers numéros inscrits sont donc: 

\[212 \text{--} 424 \text{--} 636 \text{--} 848 \text{--} \np{1060} \text{--} \np{1272} \text{--} \np{1484} \text{--} \np{1696} \text{--} \np{1908}.\]
 
Donner la liste des 15 numéros suivants. 

La valeur $n = 212$ permet-elle de convoquer tous les candidats ? 
		\item Avec cette valeur de $n$, combien de numéros différents la liste comporte-t-elle ?
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, le président du jury choisit $n = 38$. 

Déterminer combien de numéros différents comporte la liste. Justifier la réponse. On pourra remarquer que $38$ est un diviseur de \np{2014}.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
D'après la partie B, il apparaît que, pour certaines valeurs de $n$, la procédure utilisée ne permet pas de convoquer tous les candidats, c'est-à-dire de constituer une liste comportant tous les nombres de 1 à \np{2014}.
 
On admet le résultat suivant :
 
\og  Le nombre $n$ choisi permet de former une liste complète comportant tous les numéros de 1 à \np{2014} dans le cas où le PGCD de \np{2014} et de $n$ est égal à 1, et dans ce cas seulement \fg.
 
Ainsi, les nombres $n$ permettant de convoquer tous les candidats sont les entiers $n$ compris entre 1 et 400 qui sont premiers avec \np{2014}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Si $n = 15$, la procédure utilisée permet-elle de convoquer tous les candidats? 
\item Dans cette question, on cherche à déterminer le nombre d'entiers n, parmi ceux compris entre 1 et 400, qui permettent par la procédure utilisée de convoquer tous les candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre de multiples de 2 non nuls, inférieurs ou égaux à 400. 
		\item Donner la liste des multiples \textbf{impairs} de 19, inférieurs ou égaux à 400. 
		\item Donner la liste des multiples \textbf{impairs} de 53, inférieurs ou égaux à 400. 
		\item En déduire le nombre d'entiers $n$ qui ne permettent pas de convoquer tous les candidats, puis le nombre d'entiers $n$ qui le permettent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}\end{document}