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%Sujet aimablement communiqué par Alain Vanbuckhave
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{novembre  2017}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Nouvelle Calédonie novembre 2017~\decofourright\\[4pt]Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Un opérateur de téléphonie mobile propose trois offres de forfait mensuel sans engagement à ses clients. Chaque offre met à disposition du client une durée de communication mensuelle ainsi qu'un accès à l'Internet 4G avec un volume prédéfini de données.

Le descriptif de chacune de ces offres est détaillé dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{l|}{~}&Offre \no 1&Offre \no 2&Offre \no 3\\ \hline
Montant mensuel du forfait (en euro)&6	&10	&18\\ \hline
Durée de communication (en heure)	&2	&2	&6\\ \hline
Données internet (en Go)			&0,2&2	&20\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère les matrices 
$M = \begin{pmatrix}6 &10&18\\2&2&6\\0,2 & 2 & 20\end{pmatrix}, \: A  = \begin{pmatrix}350\\ 120\\ 70\end{pmatrix}$   et $B = \begin{pmatrix}350 &120 &70\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Lequel de ces deux produits de matrices est-il défini : $M \times A$ ou $M \times B$ ? Justifier.
		\item Effectuer ce produit de matrices à la calculatrice et interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\item On donne $P$ la matrice inverse de $M$ dont les coefficients sont arrondis à la quatrième décimale:

\[P = \begin{pmatrix}
\np{- 0,1804}	&\np{1,0567}	& \np{- 0,1546}\\
0,25			&- 0,75			& 0 \\
\np{- 0,0232}	&\np{0,0644}	&\np{0,0515}
\end{pmatrix}.\]

Pour un mois donné, l'opérateur a obtenu un chiffre d'affaires de \np{26540}~\euro{} pour l'ensemble de ces trois offres. On sait que cela correspond à la mise à disposition de \np{7780}~h de communications et à un volume de données internet de \np{14440} Go.

On définit les matrices $C = \begin{pmatrix}\np{26540}\\\np{7780}\\\np{14440}\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ où $x$ désigne le nombre de clients ayant choisi l'offre \no 1, $y$ le nombre de clients pour l'offre \no 2 et $z$ le nombre de clients pour l'offre \no 3.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une égalité matricielle représentant la situation en utilisant les matrices $M, C$ et $X$.
		\item Montrer l'égalité matricielle $X = P \times C$.
		\item En déduire le nombre de clients ayant choisi chacune des trois offres. 
		
Les valeurs seront arrondies à la dizaine.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

En France, chaque entreprise est identifiée par un numéro unique appelé \textbf{SIREN} (Système d'\textbf{I}dentification du \textbf{R}épertoire des \textbf{EN}treprises) composé de 9 chiffres. Chaque établissement d'une même entreprise se voit attribuer un numéro de SIRET à 14 chiffres composé de trois parties :

\begin{center}
$\underbrace{\text{SIREN}}$ \quad  $\underbrace{\text{NIC}}$ \quad $\underbrace{\text{Clé}}$ \\
~~~9 chiffres \quad 4 chiffres \quad 1 chiffre
\end{center}

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la première partie est le numéro SIREN de l'entreprise;
\item[$\bullet~$] la deuxième partie, appelée NIC (Numéro Interne de Classement), est un numéro d'ordre séquentiel à quatre chiffres attribué à l'établissement;
\item[$\bullet~$] la troisième partie est une clé de contrôle qui permet de vérifier la validité de l'ensemble du numéro SIRET.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\emph{Exemple }1 : \np{478333495} 25518 est le numéro de SIRET du 2551\up{e} établissement de l'entreprise de numéro de SIREN \np{478333495}. La clé de contrôle est le dernier chiffre : 8.

\smallskip

On définit :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$E$ : l'ensemble de toutes les entreprises ;
\item[$\bullet~$]$S$ : l'ensemble de tous les numéros de SIREN attribués ;
\item[$\bullet~$]$T$ : l'ensemble de tous les numéros de SIRET attribués.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse:
	\begin{enumerate}
		\item Q : \og Deux établissements différents d'une même entreprise ont les 9 premiers chiffres de leur numéro de SIRET identiques.\fg
		\item R : \og Deux établissements différents d'une même entreprise ont le même numéro NIC.\fg
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Peut-on définir une application de l'ensemble $S$ de tous les numéros de SIREN attribués vers l'ensemble $T$ de tous les numéros de SIRET attribués? Justifier.
		\item L'application qui, à chaque entreprise de l'ensemble $E$, associe un numéro de SIREN de l'ensemble $S$, est-elle injective, surjective, bijective ? Justifier chaque réponse.
		\item Quel nombre maximum d'entreprises différentes la numérotation SIREN permet-elle d'identifier ?
	\end{enumerate}
\item Le calcul de la clé de contrôle (14\up{e} chiffre du code SIRET) se fait selon l'algorithme ci-dessous.
	\smallskip
	
1\up{re} étape : on calcule la somme pondérée des 13 chiffres constituant le numéro de SIRET sans la clé.
	
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] On détermine le rang de chacun des 13 chiffres (le premier. en partant de la gauche, étant de rang 0).
\item[$\bullet~$] On associe à chaque chiffre une pondération de 2 pour les chiffres de rang pair et 1 pour les
chiffres de rang impair.
\item[$\bullet~$] On calcule le produit de chaque chiffre par sa pondération. Si le résultat obtenu est supérieur
ou égal à 10, on enlève 9.
\item[$\bullet~$] On effectue la somme de tous les chiffres ainsi obtenus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Exemple 2 : on considère le numéro de SIRET (sans clé) suivant: \np{732829320} 0007.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang 							&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 	&11 &12\\ \hline
Chiffres 						&7 &3 &2 &8 &2 &9 &3 &2 &0 &0 &0 	&0 	&7\\ \hline
Pondération 					&2 &1 &2 &1 &2 &1 &2 &1 &2 &1 &2 	&1 	&2\\ \hline
Chiffres $\times$ Pondération	&14&3 &4 &8 &4 &9 &6 &2 &0 &0 &0 	&0 	&14\\ \hline
On enlève 9 si le produit précédent
 est supérieur ou égal à 10		&5 &3 &4 &8 &4 &9 &6 &2 &0 &0 &0 	&0 	&5\\ \hline
 \end{tabularx}
 \end{center}

$\bullet~~$ La somme pondérée est $5 + 3 + 4 + 8 + 4 + 9 + 6 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 5 = 46$.

\smallskip

2\up{e} étape: on détermine la clé de contrôle.

\smallskip

$\bullet~~$ Si la somme pondérée est un multiple de 10, la clé est 0. Sinon, la clé est égale à $10 - a$ où $a$ est le reste de la division de la somme pondérée par 10.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la clé du numéro de SIRET de l'exemple 2.
		\item Vérifier si le numéro de SIRET \np{321654980} 12312 est valide, c'est-à-dire si la clé de contrôle est correcte.
	\end{enumerate}
\item Soit $A = \{\np{478333496}~;~\np{732 829 320}\}$ et $B = \{0001~;~0002~;~0003\}$.
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer le cardinal de $A$, de $B$ et du produit cartésien $A \times B$.
		\item Déterminer deux éléments de $A \times B$.
		\item Interpréter le contenu de l'ensemble $A \times B$ dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Sous l'effet des phénomènes climatiques, de la houle et des marées, l'érosion provoque le recul des falaises. Actuellement, la vitesse de recul est élevée et selon les secteurs géographiques, elle peut varier de $0,08$ à $0,28$ mètre par an. Ce phénomène provoque l'affaiblissement de la base des falaises et entraîne des éboulements. Les constructions en bordure de falaises sont alors menacées et leurs habitants doivent être relogés.

\smallskip

Une maison est construite à $15$ mètres du bord de la falaise. On considère que le danger est trop important pour que les occupants puissent l'habiter lorsqu'elle se trouvera à moins de $10$~m du bord.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que dans ce secteur géographique, l'érosion se fait à raison de $0,21$~m par an.

On note $u_n$ la distance en mètre entre le bord de la falaise et la maison après $n$ années d'érosion.

On a donc $u_0 =15$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n \right)$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer dans combien d'années les occupants devront quitter cette maison en raison du danger.
	\end{enumerate}
\item Les scientifiques considèrent à présent un autre modèle mathématique dans lequel la distance restante entre la maison et le bord de la falaise diminue de 2,5\,\% chaque année.
	
On note alors $v_n$ la distance en mètres restante après $n$ années d'érosion, avec $v_0 = 15$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(v_n \right)$ puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer avec ce modèle mathématique, dans combien d'années les occupants devront quitter cette maison.
	\end{enumerate}
\item Lorsque la distance restante avec le modèle $\left(u_n \right)$ est de $11,85$~m, déterminer par un calcul la distance restante obtenue avec le modèle $\left(v_n \right)$.
	
Le résultat sera arrondi au cm.
\end{enumerate}
\end{document}