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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{3 novembre  2013}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright  \\Nouvelle-Calédonie 3 novembre 2013\\ Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour obtenir un diplôme, des étudiants doivent valider quatre modules différents notés A, B, C et D. 

Les modules nécessitent certaines connaissances et doivent donc être validés en respectant les règles suivantes :
\begin{itemize}
\item une fois le module A validé, on peut valider les modules B, C ou D ; 
\item une fois le module B validé, on peut valider le module D ; 
\item une fois le module C validé, on peut valider les modules B ou D ; 
\item aucun module ne peut être validé après le module D.
\end{itemize}
 
On définit ainsi un graphe orienté de sommets A, B, C et D, pris dans cet ordre, et dont la matrice d'adjacence est la matrice $M$ : 

\[M = \begin{pmatrix} 
0& 1& 1& 1\\ 0&0&0& 1\\0& 1& 0& 1\\0& 0& 0&0\\
\end{pmatrix}\]
 
Ainsi $m_{12} = 1$ signifie que l'on peut valider le module B, le module A ayant été validé.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau des prédécesseurs : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommets &Prédécesseurs\\ \hline 
A&\\ \hline  
B&\\ \hline  
C &A\\ \hline  
D&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Déterminer le niveau des sommets de ce graphe. Expliquer la démarche suivie. 
\item Donner une représentation géométrique du graphe ordonné par niveaux. 
\item Existe-t-il un chemin de longueur 4 entre deux sommets du graphe? Justifier. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la longueur de chemin maximale qui peut exister entre deux sommets de ce graphe. 
		\item Donner un tel chemin. Un étudiant qui a suivi un tel parcours a-t-il validé tous les modules ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Un petit fournisseur de matériel informatique propose trois formules de vente à ses clients : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item une formule F1 \og clavier + souris \fg{} à 12 euros; 
\item une formule F2 \og clavier + souris + clé USB \fg{} à 16 euros ; 
\item une formule F3 \og clavier \fg{} à 10 euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour chacune de ces formules, dans le tableau suivant sont indiqués le coût d'achat du matériel, le temps moyen nécessaire au conditionnement de chaque formule et le prix demandé: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&Formule F1	& Formule F2& Formule F3\\ \hline
Coût d'achat en euro&3 			&4 			&2\\ \hline 
Temps en minute 	&8 			&10 		&6\\ \hline 
Prix de vente en euro&12 		&16 		&10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}3&4&2\\8&10&6\\ 
12& 16& 10\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $C~=~\begin{pmatrix} 
10\\8\\14\end{pmatrix}$.
 
Effectuer le produit matriciel $MC$. 
		\item On considère le cas où 10 clients optent pour la formule F1, 8 pour la formule F2 et 14 pour la formule F3.
		 
Donner la signification de chacun des coefficients du produit matriciel $MC$ en termes de coût d'achat, de temps et de prix de vente. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la matrice $P = \begin{pmatrix}a&2& -1\\2&- 1,5&0,5\\ - 2& 	0& 	0,5\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coefficients de la première ligne du produit matriciel $PM$. 
		\item Déterminer le réel $a$ tel que le produit matriciel $PM$ soit égal à la matrice unité $I = \begin{pmatrix} 1&0& 0\\0& 1& 0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item Dans la suite de l'exercice on prend $a = - 1$ et l'on admet que, dans ce cas, $PM = I$.
 
Soient $X$ et $Y$ deux matrices à une colonne et trois lignes. Démontrer que si $MX = Y$ alors $X = PY$. 
\item On sait que le fournisseur a dépensé $100$~euros pour l'achat du matériel, que le conditionnement a nécessité $270$~minutes et que la recette pour ces trois formules a été de $430$~euros.
 
Déterminer, pour chacune des formules, le nombre de clients l'ayant choisie. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

Des étudiants en informatique étudient la propagation de virus sur le disque d'un ordinateur non connecté à un réseau.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : un premier virus}

\medskip
 
À chaque allumage de l'ordinateur, le virus se répand et le nombre de fichiers infectés est déterminé par le terme général de la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par son premier terme $U_{1} = 1$ et, pour tout entier 
naturel $n$ non nul : $U_{n+1} = 1 + 2 U_{n}$ où $n$ est le nombre d'allumages de l'ordinateur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $U_{2}, U_{3}$ et $U_{4}$.
 
Justifier que la suite $\left(U_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. 
\item On considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : 

$V_{n} = U_{n} + 1$.
 
Calculer $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ et $V_{4}$.
 
Quelle conjecture sur la nature de la suite $\left(V_{n}\right)$ peut-on formuler ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1\: :\: V_{n+1} = 2 V_{n}$. 
		\item En déduire une expression de $V_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,  $n \geqslant 1 : U_{n} = 2^n - 1$. 
		\item À partir de combien d'allumages de l'ordinateur, le nombre de fichiers infectés sera-t-il supérieur à \np{1000} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : un deuxième virus}

\medskip
 
L'équipe d'étudiants implante maintenant un virus sur un autre ordinateur. Le nombre de fichiers infectés en fonction du nombre $n$ d'allumages de l'ordinateur est $3^n - 1$.
 
Par ailleurs, chaque fois que le nombre de fichiers infectés est un multiple de $11$, un message d'avertissement s'affiche à l'écran.
 
Le reste de la division euclidienne de $3^n - 1$ par $11$ est noté $W_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &$3^n - 1$& $W_{n}$\\ \hline 
1 && \\ \hline 
2 && \\ \hline 
3 && \\ \hline 
4 && \\ \hline 
5 && \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Démontrer que si $n$ est un multiple de 5, alors $3^n - 1 \equiv 0 \:\:(\text{modulo}\:\: 11)$.
 
Quelle information peut-on en déduire sur l'apparition du message d'avertissement ? 
\end{enumerate} 
\end{document}