%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS SIO obligatoire},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 10 novembre 2015},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{10 novembre  2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\ session  10 novembre 2015\\ Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte.

\smallskip

Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte.

\smallskip

\emph{Aucune justification n'est attendue.\\
Une bonne réponse rapporte $1$ point.\\
Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'enlèvent aucun point.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.25cm}||X|>{\footnotesize}X|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Questions}}& \textbf{Réponses proposées}\\ \hline
\textbf{1.} &$a$ et $b$ étant deux variables booléennes, l'expression $\overline{a+b}$ est toujours égale à:&\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$\overline{a} + \overline{b}$
\item[$\bullet~~$]$\overline{a} \cdot \overline{b}$
\item[$\bullet~~$]$\overline{a \cdot b}$
\item[$\bullet~~$]$\overline{a} + \overline{b} + \overline{a \cdot b}$
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{2.}&$a,\: b$ et $c$ étant des variables booléennes, une écriture simplifiée de l'expression
$E = ab + \overline{b}\overline{c} + bc + \overline{a}\overline{c}$ est :&
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$b + \overline{c}$
\item[$\bullet~~$]$b \overline{c}$
\item[$\bullet~~$]$b + c$
\item[$\bullet~~$]$a + b + c$
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{3.}& Les nombres $63$ et $91$ :&\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]sont premiers entre eux
\item[$\bullet~~$]sont premiers l'un et l'autre
\item[$\bullet~~$]ont un diviseur commun autre que 1
\item[$\bullet~~$]sont divisibles par 3
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{4.}&À chaque nombre entier naturel, on associe son double, ce qui définit une application $f$ de $\N$ dans $\N$.

Cette application $f$ est:&\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]injective
\item[$\bullet~~$]surjective
\item[$\bullet~~$]ni injective, ni surjective
\item[$\bullet~~$]bijective
\end{itemize}\\ \hline
\textbf{5.} & Soit $P$ la proposition :
\og Tout étudiant en STS SIO connaît le langage Python \fg.

La négation de la proposition $P$ est :&\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \og Aucun étudiant en STS SIO ne connaît le langage Python \fg
\item[$\bullet~~$] \og Exactement un étudiant en STS SIO ne connaît pas le langage Python \fg
\item[$\bullet~~$] \og Les étudiants en STS SIO ne connaissent pas tous le langage Python \fg
\item[$\bullet~~$] \og Tout étudiant en STS SIO connaît le langage JAVA \fg
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne la durée en heure des traversées entre différentes villes portuaires.

Par exemple, la case contenant le nombre 4 s'interprète ainsi : la durée de la traversée au départ de la ville B et à destination de la ville E est égale à 4~h.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Ville 	&A 	&B 	&C 	&D &E 	&F\\ \hline
A		&	&3	&	&8	&	&\\ \hline
B		&	&	&	&6	&4	&\\ \hline
C		&	&	&	&	&	&\\ \hline
D		&	&	&12	&	&	&\\ \hline
E		&	&	&8	&	&	&6\\ \hline
F		&	&	&3	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À ce tableau est associé un graphe orienté dont les sommets sont A, B, C, D, E et F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau des prédécesseurs de chacun des sommets de ce graphe, et déterminer le niveau de chaque sommet.
\item Dessiner le graphe en ordonnant les sommets par niveaux et en marquant la longueur de chaque arc.
\item Déterminer le (ou les) trajet(s) de durée minimale permettant d'aller de A à C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une agence de voyage de la zone euro propose un circuit touristique pour visiter les 3 villes A, B et C. Le client peut choisir la durée du séjour dans chaque ville. L'agence distingue deux périodes, la haute et la basse saison, et différencie ses tarifs selon la période.

\smallskip

Les tarifs journaliers dans les différentes villes, en centaines d'euro par personne, sont donnés dans le tableau suivant. L'euro est noté \euro.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Ville A &Ville B &Ville C\\ \hline
Nombre de jours& 1 &1 &1\\ \hline
Tarif haute saison &2 &2,5 &1,5\\ \hline
Tarif basse saison &1 &2 &1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $P$ la matrice $\begin{pmatrix}
1&1&1\\2&2,5&1,5\\1&2&1\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Monsieur Martin a choisi un circuit qui comprend 3 jours dans la ville A, 2 jours dans la ville B et 5 jours dans la ville C. On associe à ce choix la matrice $M = \begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit matriciel $P \times M$. Que représentent les termes de la matrice obtenue ?
		\item Monsieur Martin dispose de \np{1500}~\euro. Pourra-t-il réaliser son voyage ?
	\end{enumerate}
\item On considère la matrice $Q = \begin{pmatrix}-1&2&-2\\-1& 0&1\\3& -2&1\end{pmatrix}$, et on note $I$ la matrice unité : $I = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit matriciel $Q \times P$.
		\item Soient $X$ et $Y$ deux matrices colonnes quelconques à 3 lignes et 1 colonne.
		
Montrer que, si $P \times X = Y$, alors $X = Q \times Y$.
	\end{enumerate}
\item Dans une publicité, l'agence de voyage affirme qu'un circuit complet de 12 jours est possible au tarif de \np{2250}~\euro{} en haute saison et \np{1400}~\euro{} en basse saison.
	
Comment se compose ce circuit, en nombre de jours dans chacune des villes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Après l'obtention de leur BTS SIO, Aurélien et Barbara sont employés dans deux entreprises différentes le 1\up{er} janvier 2015. Ces deux entreprises sont situées dans la zone euro ; l'euro est l'unité
monétaire utilisée (notation \euro).

L'entreprise A propose à Aurélien un salaire annuel de \np{18000}~\euro{} en 2015, avec une augmentation annuelle de $380$~\euro.

L'entreprise B propose à Barbara un salaire de \np{18000}~\euro{} en 2015, avec une augmentation annuelle de 2\,\%.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les montants respectifs, en euro, des salaires annuels d'Aurélien et de Barbara, pour l'année $(2015 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du salaire d'Aurélien}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le salaire annuel d'Aurélien en 2016 puis en 2017.
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(a_n\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, exprimer le nombre $a_n$ en fonction de l'entier $n$.
		\item Quel sera le salaire annuel d'Aurélien en 2025 ?
		\item On rappelle que la somme des premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ peut être  obtenue à l'aide de la formule : 
		
\[u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \dfrac{\left(u_0 + u_n\right)}{2} \times  (n + 1).\]

Par une méthode au choix, calculer le montant total que doit percevoir Aurélien, du 1\up{er} janvier 2015 au 31 décembre 2025.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude du salaire de Barbara}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le salaire annuel de Barbara en 2016 puis en 2017.
		\item Déterminer la nature de la suite de la suite $\left(b_n\right)$.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $b_n = \np{18000} \times  1,02^n$.
		\item Quel sera, arrondi au centime d'euro, le salaire annuel de Barbara en 2025 ?
		
Expliquer la démarche.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Comparaison des deux salaires}
	
	\medskip
	
À l'aide de la calculatrice, comparer, pour les années allant de 2015 à 2030, les salaires de Barbara et Aurélien.
\end{enumerate}
\end{document}