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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{14 mai  2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 14 mai 2018~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un grand fabricant d'ordinateurs portables analyse le nombre de commandes mensuelles d'un de ses modèles au cours de certains mois, en 2017. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois (en 2017) 		&Janvier 	&Février 	&Mars &Avril &Mai &Juin &Juillet &Août\\ \hline
$x_i$ : rang du mois& 1 		&2 			&3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
$y_i$ : nombre de
 commandes			&\np{4650}	&\np{4400} &\np{4150} &\np{3850} &\np{3450}&\np{3200} &\np{2950} &\np{2600}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ ayant un aspect rectiligne, on décide de procéder à un ajustement affine de ce nuage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$. Les
coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au dixième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de l'équation de la droite de régression, une estimation du nombre de commandes de ce modèle d'ordinateur pour le mois de novembre 2017.
		\item Expliquer pourquoi cette droite de régression ne peut servir de modèle que sur un intervalle de temps limité.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le fabricant commercialise un autre modèle d'ordinateur portable, avec lequel certains appareils présentent parfois un défaut d'alimentation.

Les systèmes d'alimentation utilisés proviennent de deux fournisseurs différents, notés A et B ; 60\,\% d'entre eux proviennent du fournisseur A, les autres du fournisseur B.

Le fabricant constate que 2\,\% des systèmes d'alimentation provenant du fournisseur A et 3\,\% de ceux provenant du fournisseur B présentent un défaut.

\smallskip

On prélève au hasard un ordinateur portable dans le stock du fabricant. On considère les
évènements suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og l'ordinateur prélevé a une alimentation provenant du fournisseur A \fg ;
\item[ ] $B$ : \og l'ordinateur prélevé a une alimentation provenant du fournisseur B \fg{} ; 
\item[ ] $D$ : \og l'ordinateur prélevé présente un défaut d'alimentation \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé, à l'aide des évènements $A$, $B$, $D$ et $\overline{D}$.
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $A \cap D$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item  Prouver que la probabilité que l'ordinateur portable prélevé présente un défaut d'alimentation est égale à $0,024$.
\item  Un ordinateur portable prélevé présente un défaut d'alimentation. Calculer la probabilité qu'il provienne du fournisseur B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les probabilités, seront arrondies au  millième, si besoin.}

\medskip

On admet désormais que la probabilité qu'un ordinateur portable prélevé au hasard dans le stock présente un défaut d'alimentation est égale à $0,024$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard $20$ ordinateurs portables dans le stock pour en vérifier le bon fonctionnement. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. 

On note $X$ la variable aléatoire qui, parmi les $20$ ordinateurs prélevés, dénombre
ceux qui présentent un défaut d'alimentation.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le fait que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		\item Calculer la probabilité qu'aucun ordinateur prélevé ne présente un défaut d'alimentation.
		\item En déduire la probabilité qu'au moins un ordinateur prélevé présente un défaut d'alimentation.
 	\end{enumerate}
\item On tire cette fois-ci au hasard avec remise \np{1000} ordinateurs portables dans le stock.
	
La variable aléatoire qui. parmi les \np{1000} ordinateurs tirés, dénombre ceux présentant un défaut d'alimentation, suit une loi binomiale de paramètres $n = \np{1000}$ et $p = 0,024$.
	
On admet que la loi de cette variable aléatoire peut être approchée par celle d'une variable $Y$, qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 24$ et d'écart-type $\sigma = 4,84$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les paramètres de la variable aléatoire $Y$.
		\item Déterminer la probabilité que, parmi les \np{1000} ordinateurs prélevés, il y ait au moins $15$ ordinateurs présentant un défaut d'alimentation, en calculant la probabilité $p(Y \geqslant 14,5)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Un fabricant d'ordinateurs possède une unité de production qui fabrique chaque jour entre 400 et \np{2000} composants identiques. On admet que lorsque $x$ centaines de composants sont fabriquées, avec $4 \leqslant x \leqslant 20$ le bénéfice correspondant, en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [4~;~20] par:

\[f(x) = - 2x + 3 + 24\ln (2x).\]

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [4~;~20].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression suivante:

\[f'(x) = \dfrac{24 - 2x}{x}.\]

Démontrer ce résultat en détaillant le calcul.
\item  En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [4~;~20], puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs au dixième:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$x$&4&5&6&8&10&12&14&18&20\\ \hline
$f(x)$&44,9&&&&&55,3&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item  Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] En abscisses : commencer la graduation à 4 et prendre 1~cm pour une unité.
\item[ ] En ordonnées : commencer la graduation à 40 et prendre 1~cm pour une unité.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 53$ possède deux solutions que l'on notera $\alpha$ et $\beta$, avec :
		
\[\alpha  \in [4~;~12]\quad  \text{et}\quad \beta \in  [12~;~20].\]
		
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée au centième de $\alpha$ et $\beta$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B - Applications}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le bénéfice réalisé pour une production de $500$ composants ? Arrondir à l'euro.
\item  Déterminer la quantité de composants à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal. Déterminer ce bénéfice maximal, en arrondissant le résultat à l'euro.
\item  Déterminer les quantités de composants à fabriquer, à l'unité près, afin que le bénéfice soit supérieur ou égal à \np{53000}~euros.
\end{enumerate}
\end{document}