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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\  12 mai 2015 - Services informatiques aux organisations\\
Mathématiques approfondies}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

Les trois parties \textbf{A, B} et \textbf{C} peuvent être traitées de manière indépendante.

\medskip

Une entreprise d'envergure internationale produit des composants pour ordinateurs portables,
notamment des batteries et des écrans.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au cours de la production, les batteries peuvent présenter, de façon indépendante, deux défauts
principaux, notés $a$ et $b$. On considère qu'une batterie produite est défectueuse lorsqu'elle comporte
au moins l'un des défauts $a$ ou $b$.

On prélève une batterie au hasard dans la production d'une journée. La probabilité que le défaut $a$
apparaisse est égale à $0,02$, celle que le défaut $b$ apparaisse est égale à $0,01$.

On note $A$ l'évènement \og  le défaut $a$ apparaît \fg, et $B$ l'évènement \og le défaut $b$ apparaît \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
		\item Calculer la probabilité qu'une batterie produite soit défectueuse. On arrondira le résultat à la quatrième décimale.
	\end{enumerate}
\item On prélève au hasard dans la production un lot de 100~batteries. La production est suffisamment
importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage aléatoire avec remise.
	
On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 100~batteries, associe le nombre de
batteries défectueuses détectées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?
Justifier et donner les paramètres de cette loi.
		\item Calculer $P(X \geqslant 3)$, en arrondissant à la quatrième décimale.
Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse maintenant à la durée de charge de ces batteries.

On prélève au hasard une batterie dans la production, et l'on note $Y$ la variable aléatoire qui
modélise le temps de charge, en minute, de cette batterie.

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de paramètres $m = 80$ et $\sigma = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P( 60 \leqslant Y \leqslant 100)$. On arrondira le résultat à la quatrième décimale.
\item Déterminer le réel $h$, arrondi à la deuxième décimale, tel que $P(Y \geqslant  h) = 0,95$.

Formuler une interprétation de ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La durée de bon fonctionnement d'un écran, exprimée en jour, est modélisée par une variable
aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Le temps moyen de bon fonctionnement des écrans est de \np{1900} jours.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En arrondissant à la quatrième décimale,justifier que $\lambda$ s'exprime en jour$^{-1}$ par: $\lambda = \np{0,0005}$.
\item Quelle est la probabilité que l'écran fonctionne encore correctement après \np{4000} jours
d 'utilisation ? On arrondira le résultat à la quatrième décimale.
\item Déterminer le réel $t$ tel que $P(T \leqslant  t) = 0,7$. On donnera la valeur de $t$ arrondie à l'entier.

Interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{A. Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~6,5] par :

\[f(x) = - 2x^2 + 20x - 18 - 16\ln (x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~6,5], on a : 
		
		$f'(x) = \dfrac{-4(x-1)(x-4)}{x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~6,5].
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les résultats au dixième.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6	&6,5\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le repère \Oij.

On pourra choisir pour unités graphiques : 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour
une unité en ordonnées.
	\end{enumerate}	
\item Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~6,5] par :

\[F(x) = - \dfrac{2}{3} x^3 + 10x^2 - 2x - 16x \ln (x).\]

Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6,5].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Applications à l'économie}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces qu'elle conditionne par paquets de cent. Sa fabrication
journalière varie entre 100~pièces et 650~pièces.

Le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euro, pour $q$ centaines de pièces fabriquées ($1 \leqslant  q \leqslant 6,5$), est modélisé par $f(q)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie \textbf{A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(q) = 0$ admet une solution dans l'intervalle [4~;~6,5], et donner
une valeur approchée au centième de cette solution.
		\item En déduire jusqu'à quel nombre de pièces fabriquées l'entreprise réalise un bénéfice.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre de pièces que doit fabriquer l'entreprise afin d'obtenir le bénéfice
maximal. Calculer cc bénéfice maximal, arrondi à la centaine d'euro.
\item Avec la modélisation choisie, le bénéfice moyen $B_m$ réalisé par l'entreprise, s'exprime, en
milliers d'euro, par : 
	
	\[B_m = \dfrac{1}{5,5} \times \displaystyle\int_1^{6,5}f(x)\:\text{d}x.\]
	
Calculer ce bénéfice moyen, arrondi à la centaine d'euro.
\end{enumerate}
\end{document}