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%Merci à J. Decorsière pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{mai  2016}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\12  mai 2016 - Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}}

\bigskip

Une entreprise réalise une étude en vue de la commercialisation d'une machine qu'elle a fabriquée.

L'étude vise à déterminer le nombre de machines qu'elle doit fabriquer et vendre pour réaliser un
bénéfice. On admet que toutes les machines fabriquées sont vendues.


\bigskip

\textbf{Partie A: Étude du coût de production}

\medskip

Le coût de production $f$ en milliers d'euro) de $x$ machines est modélisé sur l'intervalle [0~;~160] par:

\[f(x) = 0,48x^2 + \np{1000} \ln (x + 10).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~160] :

\[f'(x)  = \dfrac{0,96x^2 + 9,6x + \np{1000}}{x + 10}\]

\item Quel est le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~160] ? Justifier.

En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir à l'unité).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0 	&20 &50 		&70 &90 		&110&130 		&160\\ \hline
$f(x)$	&	&	&\np{5294} 	&	&\np{8493} 	&	&\np{13054}	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~160] dans un repère orthogonal, avec les unités graphiques suivantes : 1 cm représente 10 machines en abscisses et 1 cm représente 1 millier d'euro en ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude du bénéfice}

\medskip

Le prix de vente d'une machine est de \np{100000}~\euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer la recette $r(x)$ (en milliers d'euro) en fonction du nombre de machines $x$ vendues.
\item Représenter sur le graphique de la partie A, la droite d'équation $y = 100x$.
\item Déterminer graphiquement les quantités de machines que l'entreprise peut fabriquer pour réaliser
un bénéfice.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}}

\bigskip

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats sont arrondis au millième.

Un administrateur de réseaux installe des nouveaux serveurs pour ses utilisateurs répartis sur trois
sites. L'installation nécessite une interruption du service pendant une période donnée. Afin de
perturber le moins possible les utilisateurs, l'administrateur étudie les connections sur les trois sites
dans la période considérée. On suppose que la probabilité qu'un utilisateur se connecte, dans cette
période, est égale à $0,05$. Les comportements des utilisateurs sont supposés indépendants les uns des
autres.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur le site 1, il y a $60$ utilisateurs. On note $X_1$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre
d'utilisateurs connectés sur ce site dans la période considérée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité de n'avoir aucun utilisateur connecté dans la période considérée.
\item Calculer la probabilité d'avoir au moins deux utilisateurs connectés dans cette période.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur le site 2, il y a $120$ utilisateurs.

On décide d'approcher la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_2$, qui comptabilise le nombre
d'utilisateurs connectés du site 2 dans la période considérée, par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

On note $Y$ la variable aléatoire suivant cette loi de Poisson.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\lambda = 6$.
\item Calculer la probabilité $P(Y \leqslant 2)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Sur le site 3, il y a 200 utilisateurs.

On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_3$, qui comptabilise le nombre
d'utilisateurs connectés du site 3 dans la période considérée, peut être approchée par une loi normale.

Soit $Z$ la variable aléatoire suivant cette loi de normale $\mathcal{N}(m~;~\sigma)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $m = 10$ et que $\sigma \approx  3,1$ en arrondissant au dixième.
\item Déterminer la probabilité d'avoir au plus 14 utilisateurs du site 3 connectés dans la période
d'interruption en calculant $P(Z \leqslant 14,5)$.
\item Calculer la probabilité que le nombre d'utilisateurs du site 3 connectés dans cette période soit
compris entre 6 et 14, c'est-à-dire calculer le nombre 

$P(5,5 \leqslant Z \leqslant 14,5)$.
\end{enumerate}
\end{document}