%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS SIO facultative}, pdftitle = {Polynésie - 10 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie} \lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}} \rfoot{\small{10 mai 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\ 10 mai 2017 - Services informatiques aux organisations}} \vspace{0,25cm} \textbf{Épreuve facultative} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Le tableau suivant donne le taux d'équipement des Français en téléphones mobiles pour les années 2011 à 2015. Les valeurs sont données en pourcentages arrondis à l'unité. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Taux d'équipement en smartphones (\%) &18 &29 &39 &49 &58\\ \hline Taux d'équipement en autres mobiles (\%)&67 &59 &50 &41 &34\\ \hline Taux de Français non équipés (\%) &15 &12 &11 &10 &8\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\scriptsize D'après : http://www.zdnet.fr/actualites/infographie-portrait-de-l-utilisateur-de-smartphone-francais-39796286.htm} \end{tabularx} \end{center} Dans la suite, on s'intéresse à la progression du taux d'équipement en smartphones. \bigskip \textbf{Partie A - Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ 00 [$ par : \[f(x) = \dfrac{75}{1 + 5,4\text{e}^{- 0,6x}}.\] \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, dans lequel $f(x)$ sera arrondi au dixième. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $f(x)$ &18,9 &28,6 &39,6 & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Déterminer la limite de $\text{e}^{- 0,6x}$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. Interpréter graphiquement. \item On a obtenu une expression de $f'(x)$ à l'aide d'un logiciel de calcul formel : \[f'(x) = \dfrac{243\text{e}^{-0,6x}}{\left(1 + 5,4\text{e}^{- 0,6x}\right)^2}.\] \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Construire la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8]. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Une expression de $F(x)$ est : \[F(x) = 125 \ln \left(5,4 + \text{e}^{0,6x}\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_5^{10} f(x)\:\text{d}x$. \item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [5~;~10], arrondie au dixième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Interprétations} \medskip Pour $n$ entier naturel, on modélise le taux d'équipement (en pourcentage) en smartphones dans la population française pour l'année $2010 + n$ par l'expression $f(n)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A. Ainsi, par exemple, $f(1)$ est le taux d'équipement pour l'année 2011. \medskip \begin{enumerate} \item Quel sera le taux d'équipement en smartphones pour l'année 2018 ? Arrondir à l'unité. \item Donner une estimation, à long terme, du taux d'équipement des Français en smartphones. \item Donner une estimation du taux moyen d'équipement des Français en smartphones pour la période allant de 2015 à 2020, en pourcentage arrondi à l'unité. (La population en France est supposée constante sur cette période.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Cet exercice envisage trois études relatives à un hôtel restaurant qui accueille des VIP (Very Important Person). \smallskip \emph{Les trois parties {\rm A, \rm B} et {\rm C} peuvent être traitées de manière indépendante.\\ Sauf indication contraire, les probabilités calculées seront arrondies à la troisième décimale.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip L'hôtel propose deux gammes de chambres, les chambres standards et les chambres VIP. Un client se présente à cet hôtel pour réserver une chambre. On considère cette arrivée comme une expérience aléatoire. \smallskip Les statistiques de l'hôtel conduisent aux considérations suivantes : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item la probabilité que le client choisisse une chambre VIP est égale à $0,4$ ; \item la probabilité que le client dîne au restaurant de l'hôtel est égale à $0,3$ ; \item si le client choisit une chambre VIP, la probabilité qu'il dîne au restaurant de l'hôtel est égale à $0,6$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $V$ l'évènement \og le client choisit une chambre VIP \fg, et $R$ l'évènement \og le client dîne au restaurant de l'hôtel \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer les trois probabilités de l'énoncé à l'aide des évènements V et R. \item Justifier que la probabilité de l'évènement \og le client choisit une chambre VIP et dîne au restaurant de l'hôtel\fg{} est égale à $0,24$. \item Les évènements $V$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. \item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og le client choisit une chambre standard et ne dîne pas au restaurant de l'hôtel\fg. \end{enumerate} Dans la suite de la partie A, $10$ clients se présentent à cet hôtel pour réserver chacun une chambre. On considère que les choix de ces clients sont indépendants, concernant la gamme de la chambre choisie. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de chambres VIP réservées par l'ensemble de ces $10$ clients. \begin{enumerate}[resume] \item Préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$, en justifiant la réponse, puis donner les paramètres de cette loi. \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, puis interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice. \item Calculer $P(X \geqslant 4)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse au montant de l'addition des clients qui dînent au restaurant de l'hôtel. On prélève au hasard l'addition d'un client ayant dîné au restaurant de l'hôtel, et l'on note $Y$ la variable aléatoire qui modélise le montant en euro de cette addition. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de paramètres $m = 45$ et $\sigma = 10$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(35 \leqslant Y \leqslant 50)$. On arrondira le résultat au millième. \item Déterminer le réel $a$, arrondi au dixième, tel que $p(Y > a) = 0,90$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse aux interventions par un technicien sur le poste de télévision qui équipe une chambre VIP donnée. La durée entre deux telles interventions, exprimée en semaine, est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en semaine$^{-1}$). Le temps moyen (ou MTBF) entre deux interventions est égal à $15$ semaines. \medskip \begin{enumerate} \item En arrondissant au millième, justifier que $\lambda = 0,067$ (exprimé en semaine$^{-1}$). \item Quelle est la probabilité que la durée entre deux interventions sur la télévision d'une chambre VIP dépasse $10$ semaines ? On arrondira le résultat au millième. \item Déterminer le réel $t$ tel que $p(T \leqslant t) = 0,95$, en arrondissant la valeur de $t$ à l'entier. Interpréter le résultat obtenu, dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{document}