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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{mai  2014}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\ mai 2014 - Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le centre de radiologie RadioPro souhaite confier à une entreprise la sauvegarde de fichiers de données dont la taille est comprise entre 1~Go et 4~Go. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

L'entreprise StockA propose un tarif à RadioPro modélisé par la fonction $f$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~4] par : 

\[f(x) = - x^3 + 7 x^2 - 11x + 6\] 

où $x$ est la taille du fichier, exprimée en Go, et $f(x)$ est le coût de stockage, exprimé en centimes d'euro. 

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée en annexe. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le graphique, quel semble être le coût maximum de stockage d'un fichier de données ? 
		\item Pour quelle taille de fichier ce maximum est-il atteint ? 
	\end{enumerate}
\item Quel est le coût de stockage d'un fichier de données de taille 2~Go ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

L'entreprise StockB propose un tarif à RadioPro modélisé par la fonction $g$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~4] par : 

\[g(x) = - 2x \ln (x) + 4x + 2 \]

où $x$ est la taille du fichier, exprimée en Go, et $g(x)$ est le coût de stockage, exprimé en centimes d'euro. 

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~4], la dérivée de $g$ a pour expression : 

\[g'(x) = 2[1 - \ln (x)].\] 

\item Résoudre, dans l'intervalle [1~;~4], l'inéquation : $1 - \ln (x) > 0$. 
\item Établir le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~4]. 

Les valeurs seront arrondies au centième. 
\item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ qui figure en annexe, à rendre avec la copie. 

Les résultats seront arrondis au centième. 
\item Tracer sur le graphique de l'annexe la courbe $\mathcal{C}_g$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip  

Les tailles des fichiers à sauvegarder sont uniformément réparties dans l'intervalle [1~;~4]. 

Pour choisir entre les deux propositions de tarif, le directeur du centre de radiologie décide de comparer les valeurs moyennes des fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle [1~;~4]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4]. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1~;~4] par :
		
		\[ F(x) = - \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{7}{3}x^3 - \dfrac{7}{2}x^2 + 6x\] 

est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~4]. 
		\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l' intervalle [1~;~4]. 

Le résultat sera arrondi au dixième. 
	\end{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, on a obtenu le résultat suivant: 

\[\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^4  g(x)\:\text{d}x \approx  7,1.\] 

Quel tarif le directeur doit-il choisir ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip 

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip 

Une communauté d'agglomération regroupe les communes d'Atout, de Boutan et de Codin. Le site internet de cette communauté d'agglomération, créé en 2006, connaît un succès grandissant. 

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

Les habitants des trois communes peuvent, via le site internet, s'abonner à la lettre mensuelle de la communauté d'agglomération. 

Monsieur S., directeur des services informatiques, demande à l'administrateur du site de lui donner des éléments qui permettront de répartir le coût d'envoi des lettres mensuelles entre les différentes communes. 

Pour l'année 2013, l'administrateur du site a pu établir que, parmi les habitants des trois communes qui se connectent au site : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 45\,\% habitent la ville d'Atout ;
\item  20\,\% habitent Boutan ; 
\item tous les autres habitent Codin ; 
\item 10\,\% de ceux qui habitent Atout s'abonnent à la lettre mensuelle ; 
\item 15\,\% de ceux qui habitent Boutan s'abonnent à la lettre mensuelle ; 
\item 5\,\% de ceux qui habitent Codin s'abonnent à la lettre mensuelle. 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit au hasard un internaute d'une des trois communes qui s'est connecté en 2013. On note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement : \og l'internaute habite Atout \fg ; 
\item $B$ l'évènement : \og l'internaute habite Boutan \fg ;
\item $C$ l'évènement : \og l'internaute habite Codin \fg ; 
\item $M$ l'évènement : \og l'internaute s'abonne à la lettre mensuelle \fg. 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On pourra s'aider d'un arbre pondéré pour répondre aux questions. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les données de l'énoncé, donner les valeurs des probabilités $P(A),\: P(B),\: P_A(M),\: P_B(M)$ et $P_C(M)$. 
		\item Déterminer la probabilité $P(C)$. 
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l'internaute choisi habite Atout et s'abonne à la lettre mensuelle ? 

On donnera le résultat exact sous forme décimale. 
\item Quelle est la probabilité que l'internaute choisi s'abonne à la lettre mensuelle ? 

On donnera le résultat exact sous forme décimale. 
\item Sachant que l'internaute choisi s'abonne à la lettre mensuelle, quelle est la probabilité qu'il habite Atout ? 

Le résultat sera arrondi au centième. 
\item L'administrateur du site affirme à Monsieur S. que la commune d'Atout devra payer en 2013 plus de la moitié du coût de l'envoi des lettres mensuelles. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

Afin d'adapter au mieux les capacités du serveur hébergeant le site internet, le directeur du service informatique, Monsieur S., a mené une étude sur la fréquentation du site. Il souhaite établir une prévision de fréquentation pour les prochaines années. 

Le nombre de connexions à la page d'accueil du site pour les sept dernières années a été relevé dans le tableau ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&       &2007   &2008   &2009   &2010   &2011   &2012   &2013\\ \hline   
Rang de l'année&   $x_i$&     1   &2   &3   &4   &5   &6   &7\\ \hline     
Nombre de connexions (en milliers)&  $y_i$&   120   &130   &200   &290   &410   &550   &710\\ \hline
\end{tabularx}     
\end{center}

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a représenté ci-après le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 1 à 7. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.0125cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-50)(8.4,875)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan](\n,0)(\n,875)}
\multido{\n=0+100}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan](0,\n)(8.4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.4,-50)(8.4,875)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,120)(2,130)(3,200)(4,290)(5,410)(6,550)(7,710)
\uput[u](7.6,0){rang de l'année} 
\uput[r](0,850){nombre de connexions (en milliers)}\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

D'après cette représentation graphique, il ne semble pas judicieux d'utiliser un ajustement affine pour approcher ce nuage de points. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On effectue le changement de variable $z_i = \ln \left(y_i \right)$, pour $i$ compris entre 1 et 7. 

Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant. 

\emph{Les valeurs seront arrondies au centième.}
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$	&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$z_i$	&4,79	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item  Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 

Les coefficients seront arrondis au centième. 

\item  En déduire qu'il existe deux nombres réels $a$ et $b$ tels que : $y = a \text{e}^{bx}$. 

Le nombre $a$ sera arrondi à l'unité et le nombre $b$ au centième. 

\item  Les spécificités techniques du serveur impliquent son remplacement lors de l'année au cours de laquelle le nombre de connexions dépasse deux millions. 

En admettant que la tendance observée pendant les sept dernières années va se poursuivre, Monsieur S. écrit dans un rapport à destination des élus de la communauté d'agglomération qu'il faudra prévoir de changer le serveur au cours de l'année 2017. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Annexe exercice 1}

\bigskip 

\textbf{\large À rendre avec la copie} 

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Courbe représentative de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath :} 
\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1)(5,11.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan,linestyle=dashed,gridwidth=0.1pt](0,0)(5,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.9)(5,11.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.9)(5,11.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 7 mul 11 x mul sub 6 add x 3 exp sub}
\uput[u](3.2,9.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Tableau de valeurs de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath : }
\end{flushleft}

\bigskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&1 	&1,5 	&2 	&2,5 	&3 	&3,5 	&4\\ \hline 
$g(x)$	&	&		&	&		&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
\end{document}