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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{12 mai  2016}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\  12 mai 2016 - Services informatiques aux organisations\\
Mathématiques approfondies}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

L'administrateur d'un site web crée un forum pour que les visiteurs puissent, s'ils le désirent, poster
des messages.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

L'administrateur souhaite établir un lien entre le nombre de visiteurs du site et le nombre de
visiteurs qui postent un message.

On pose $n$ le nombre de mois écoulés depuis le lancement du forum, $x_n$ le nombre de visiteurs du
site en milliers et $y_n$ le nombre de visiteurs en milliers ayant posté un message sur le forum depuis
le lancement.

L'administrateur obtient les données statistiques suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois écoulés depuis le lancement du forum 	&$n$	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6\\ \hline
$x$ : Visiteurs (en milliers)				& $x_n$	&0,8&1,0&1,1&1,5&2,5&3,1\\ \hline
$y$ : Visiteurs ayant posté un message (en milliers)&$y_n$& 0,4 &0,4 &0,6 &0,8 &1,0 &1,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On introduit le changement de variable $z_n = \text{e}^{y_n}$ pour $n$ compris entre 1 et 6. Recopier le tableau suivant et compléter la dernière ligne. 

\emph{Les valeurs seront arrondies au dixième.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 			&$n$					&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
$x$				&$x_n$					&0,8 	&1,0 	&1,1 	&1,5 	&2,5 	&3,1\\ \hline
$z = \text{e}^y$& $z_n = \text{e}^{y_n}$& 1,5	&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.

\emph{Les coefficients seront arrondis au dixième.}
\item En déduire une estimation de $y$ en fonction de $x$.
\item On suppose que la relation trouvée précédemment reste vraie les années suivantes. Lorsque le
nombre de visiteurs sera égal à \np{10000}, estimer le nombre de visiteurs qui auront posté un
message (arrondir à l'unité).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Dans cette partie, on étudie des lois de probabilité en lien avec la gestion du site web.

\emph{Sauf indication contraire, tous les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le serveur du site web limite la durée d'attente des visiteurs en les connectant le plus vite
possible aux pages demandées. On note $T$ la variable aléatoire qui, à une telle connexion prise au
hasard, associe la durée d'attente en seconde. L'administrateur constate que la variable $T$ suit la
loi uniforme sur l'intervalle [0~;~5].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la durée d'attente soit comprise entre 2 et 4 secondes.
		\item Calculer l'espérance de $T$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque message posté au hasard, associe le temps d'attente
en heure avant une réponse. L'administrateur remarque que la variable aléatoire $X$ suit la loi
exponentielle de paramètre $a = 0,125$, exprimé en h$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le temps d'attente moyen avant qu'une réponse soit postée.
		\item On admet que la variable aléatoire $N$ qui, à chaque message posté, associe le nombre de
réponses à ce message au bout d'un jour, suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. En 24 heures
et à raison d'une réponse en moyenne toutes les 8 heures, on a donc $\lambda = 3$. 
		
Calculer la probabilité $p(N = 5)$ et traduire ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Pour gérer l'espace de stockage dédié au forum, l'administrateur veut limiter le nombre de
réponses possibles à un message.

Déterminer l'entier naturel $n$ à partir duquel on a

\[p(N \leqslant n) > \np{0,99999}.\]

L'administrateur choisira alors de limiter les discussions à $n$ messages.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie 1- Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~22] par :

\[f(x) = (x - 2)\text{e}^{-0,5x+3}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [2~;~22].
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats obtenus à l'aide d'un logiciel de calcul formel (annexe),
donner une expression factorisée de $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [2~;~22].
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~22]. On arrondira au centième les valeurs de $f(x)$ qui y apparaissent.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item D'après un logiciel de calcul formel, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ en est égale à $0$.
		
Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les résultats au centième.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x$ 	&2 	&4 	&6 	&8 	&10 &12 &14 &16	&18	&20	&22\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le repère (O, I, J).

On pourra choisir pour unités graphiques : 0,5~cm pour une unité en abscisses et 1~cm pour
une unité en ordonnées.
	\end{enumerate}
\item On pourra répondre aux questions suivantes à l'aide d'un logiciel de calcul formel (voir annexe).
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression $F(x)$ d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~22].
		\item Donner la valeur approchée au dix-millième de l'intégrale $I = \displaystyle\int_3^5 f(x) \:\text{d}x$.
		\item Hachurer la partie du graphique dont l'aire exprimée en unité d'aire est égale à $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 - Application économique}

\medskip

Une entreprise commercialise des ordinateurs portables. Le prix de revient d'un ordinateur est de
$200$~euros. On suppose que le nombre d'acheteurs d'un ordinateur est modélisé par 

\[N = \text{e}^{-0,5x+3}\]

 où $x$ est le prix de vente d'un ordinateur, exprimé en centaines d'euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ de la partie 1 donne le bénéfice réalisé par l'entreprise, en centaines
d'euro.
\item À quel prix l'entreprise doit-elle vendre un ordinateur pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel
est ce bénéfice, à l'euro près ?
\item Durant la première année de commercialisation des ordinateurs portables, le prix de vente varie
régulièrement entre $300$~euros et $500$~euros. Calculer, à l'euro près, le bénéfice moyen.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 - partie 1 :}\end{flushleft}

\bigskip

\textbf{Résultats obtenus à l'aide d'un logiciel de calcul formel:}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
1 	&deriver((x$-$2)*exp($-0.5$x+3))&\\
	&										&($-0.5$*x+2.0)*exp($-0.5$*x+3.0)\\ \hline
2	& deriver($-2$x*exp($-0.5$x+ 3))&\\
&&(x$-2.0$)*exp($-0.5$*x+3.0)\\ \hline
3	& integrer($-0.5$*x+2.0)*exp($-0.5$*x+3.0),x,2,22)&\\
	&										&0.00670925256\\ \hline
4	& integrer((x$-$2)*exp($-0.5$x+3),x,3,5)&\\
	&										&10.40292172\\ \hline
5	& \multicolumn{1}{|l}{limite((x$-$2)*exp($-0.5$x+ 3),x,+infinity)}&\\
	&										&\multicolumn{1}{c|}{0}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}