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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{23 mai  2013}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session mai 2013 - Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes}
\end{center}

Un lycée technologique dispose d'un parc informatique de 300 postes, tous du même type et achetés au même moment. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le service d'intendance de ce lycée conduit une étude sur cinq années du coût de maintenance, exprimé en milliers d'euro, de ce parc informatique. Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau ci-dessous où 
$i$ est un entier compris entre 1 et 5.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge du parc (en années)					&$n_i$&   1	&   2	&   3 	&  4	&   5\\ \hline    
Coût de maintenance (en milliers d'euro)&$y_i$&5,4	&7,6	&9,6	&10,7	&  13\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip   
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point moyen du nuage de points associé à la série $\left(n_i~;~y_i\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un arrondi au millième du coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(n_i~;~y_i\right)$. 
		\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $n$ par la méthode des moindres carrés.
	\end{enumerate}
\item  On suppose que l'évolution du coût de maintenance sur les cinq premières années se poursuit 
les années suivantes. Estimer le coût de maintenance du parc la huitième année. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Au cours d'une journée, un poste du parc informatique du lycée peut fonctionner correctement ou être en panne. On admet que les 300 ordinateurs du lycée qui sont du même type fonctionnent indépendamment les uns des autres. 

La probabilité qu'un poste tombe en panne au cours d'une journée est $0,065$. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un journée choisie au hasard, associe le nombre de postes tombés en panne dans le parc informatique du lycée. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer  la probabilité de la variable aléatoire $X$ et en préciser les paramètres. 
\item Le gestionnaire du parc informatique affirme  \og la probabilité qu'aucun poste ne tombe en panne au cours d'une journée est inférieure à  $10^{- 6}$ \fg. 

Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier. 
\item  On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par celle d'une variable aléatoire $X_1$ suivant une loi normale. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que cette loi normale a pour moyenne $19,5$ et pour écart type $4,3$, arrondi au dixième. 
		\item Le gestionnaire du parc informatique estime que le lycée peut fonctionner correctement si moins de $20$ ordinateurs sont en panne dans une journée. 

Déterminer la probabilité que le lycée puisse fonctionner correctement dans une journée, 
c'est-à-dire calculer la probabilité $P\left(X_1 \leqslant  19,5\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
L'entreprise qui fournit le lycée en ordinateurs dispose de stocks suffisamment importants de cartes mère P$_1$ et de cartes son P$_1$. Pour réaliser ses ordinateurs, elle doit insérer dans un logement côte à 
côte suivant la longueur une carte mère P$_1$ et une carte son P$_2$. 

On appelle dispositif à insérer dans le logement un assemblage d'une carte mère P$_1$ et d'une carte son P$_2$. Le cahier des charges précise que la longueur totale du dispositif à insérer dans le logement doit être comprise entre 195~mm et 207~mm.

On désigne par $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque carte mère P$_1$ prélevée au hasard dans le 
stock, associe sa longueur, exprimée en mm. Cette variable aléatoire $Y_1$ suit la loi normale
de moyenne 150~mm et d'écart-type 4~mm.

On désigne par $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque carte son P$_2$, prélevée au hasard dans le stock, associe sa longueur, exprimée en mm. Cette variable aléatoire $Y_2$ suit la loi normale de moyenne 
52~mm et d'écart-type 3~mm. 

La carte mère P$_1$ et la carte son P$_2$ à insérer ,dans le logement pour montage sont choisies au hasard~ et de manière supposée indépendante. On désigne par $Z$ la variable aléatoire qui, à tout dispositif à insérer dans le logement pris au hasard dans les assemblages, associe sa longueur, exprimée en mm. Ainsi, $Z$ est définie par $Z = Y_1 + Y_2$. On admet que la variable $Z$ suit une loi normale. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la loi de la variable aléatoire $Z$ a pour moyenne 202~mm et pour écart-type 5~mm. 
\item Montrer que la probabilité qu'un dispositif soit conforme au cahier des charges est strictement 
supérieure à 0,75, c'est-a-dire que : $P(195 \leqslant Z \leqslant 207) > 0,75$. 

On pourra s'aider si besoin de la table de probabilités ci-dessous. 
\end{enumerate}
\medskip

\emph{Table de valeurs, arrondies au dix-millième, pour la fonction de répartition de la loi normale de moyenne $202$ et d'écart-type $5$.} 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize }X|}}\hline 
$a$					& 190&191   &192   &193   &194   &195   &196   &197   &198   &199 \\ \hline  
$P(Z \leqslant a)$	& \np{0,0082} &\np{0,0139}  &\np{0,0228}&\np{0,0359}&\np{0,0548}&\np{0,0808}&\np{0,1151}&\np{0,1587}&\np{0,2119}&\np{0,2743}\\ \hline   
\end{tabularx}
\medskip

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline 
$a$&   200   &201   &202   &203   &204   &205   &206   &207   &208&209 \\ \hline  
$P(Z \leqslant a)$&\np{0,3446}&\np{0,4207}&\np{0,5000}&\np{0,5793}&\np{0,6554}&\np{0,7257}&\np{0,7881}   &\np{0,8413}&\np{0,8849}&\np{0,9192}\\ \hline   
\end{tabularx}                  

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

La vente d'un objet suit une loi d'offre notée $f$ et une loi de demande notée $g$. Les deux fonctions $f$ et $g$ sont définies sur l'intervalle [0~;~50] par : 

\[f(x) = 4\ln (x + 1)\quad  \text{et}\quad  g(x) = 34 - 6 \ln (x + 1),\] 

où $x$ désigne le prix de vente unitaire, exprimé en dizaines d'euro, $f(x)$ le nombre d'objets exprimé en centaines, proposés sur le marché et $g(x)$ le nombre d'objets, exprimé en centaines que 
les consommateurs sont prêts à acheter.

\begin{center} \textbf{Partie A : étude de la fonction \boldmath$g$ \unboldmath}
\end{center}





 

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère  orthogonal. 

La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée en \textbf{annexe}. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $g$ et déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur  
l'intervalle [0~;~50]. 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au  point d'abscisse $0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, sur l'\textbf{annexe} à rendre avec la copie, le tableau de valeurs de la fonction $g$. Les résultats seront arrondis au dixième. 
		\item Traver sur le graphique de l'\textbf{annexe} la droite $\mathcal{D}$ et  la courbe $\mathcal{C}_g$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\begin{center} \textbf{Partie B : étude du prix d'équilibre}\end{center} 

On appelle E le point d'intersection des courbes  $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et on note $(a~;~b)$ ses coordonnées. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement les coordonnées du point E. On fera apparaître les pointillés permettant la 
lecture.
\item Montrer par le calcul  que les valeurs exactes de $a$ et $b$ sont respectivement $\text{e}^{3,4} - 1$ et $13,6$. 
\item La valeur $a$ correspond au prix d'équilibre du marché. 

Donner la valeur du prix d'équilibre, arrondie à l'euro. 
\item Au niveau économique, la rente du producteur, exprimée en milliers d'euro, est le nombre : 

\[P = a \times b - \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Le nombre $P$, exprimé en unité d'aire, est l'aire d'une zone du plan ; hachurer une telle 
zone sur le graphique de l'annexe. 

\emph{On remarquera pour cela que le produit $a \times b$ est l'aire d'un rectangle.} 
		\item Montrer que la fonction $H$ définie sur [0~;~50] par 
		
		\[H(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - x\]
		
est une primitive de la fonction $h$ définie sur [0~;~50] par $h(x) = \ln(x + 1)$. 

En déduire la valeur exacte de $P$ et sa valeur arrondie à l'unité. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe à rendre avec la copie }\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau de valeurs de la fonction g :} 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 0	& 5	&10	&15 &20		&25	&30	&35		&40	&45	&50 \\ \hline  
$g(x)$	&34	&	&	&	&15,7	&	&	&12,5	&	&	&  \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{1cm}

      

\textbf{Courbes représentatives :}

\begin{center}
\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(57,37)
\multido{\n=0+1}{58}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,37)}
\multido{\n=0+1}{38}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(57,\n)}
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\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=cyan](0,\n)(57,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-2)(57,37)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{50}{x 1 add ln 4 mul}
\uput[d](48,15){$\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,0)(57,37)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}