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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{13 mai  2014}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\mai 2014 - Services informatiques aux organisations\\
Mathématiques approfondies}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

\emph{Dans cet exercice. tous les résultats seront arrondis au millième.}
 
Une société de vente par correspondance de matériel informatique a étudié le fichier clientèle pour connaître l'utilisation du modèle A100 de disque dur externe de son catalogue.
 
L'enquête a porté sur \np{1280} personnes ayant acheté ce modèle au cours des trois, derniers mois. Les résultats concernant le sexe de l'utilisateur et l'usage personnel ou professionnel du disque dur A100 sont consignés dans le tableau ci~dessous.
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Usage personnel 	&Usage professionnel\\ \hline 
Homme					&360			 	&480\\ \hline 
Femme 					&160 				&280\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A}
\end{center} 

Un opérateur  de la société est chargé d'appeler des clients au téléphone dans le but de leur proposer un  nouveau produit, le disque B200.
 
L'opérateur choisit une personne dans le fichier de ces \np{1280}~personnes. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ? 
		\item Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme qui fasse un usage personnel du disque dur externe A100 ? 
		\item La personne choisie est une femme. Quelle est la probabilité que cette femme fasse un usage professionnel du disque dur externe A100 ?
	\end{enumerate} 
\item On admet que, pour chaque client choisi au hasard dans le fichier des \np{1280} clients ayant acheté le disque A100, l'opérateur a une probabilité égale à $0,03$ d'obtenir une promesse d'achat du  disque B200.
 
L' opérateur appelle 25 personnes choisies au hasard dans le fichier ; Le nombre de clients est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ces choix à un tirage  aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de promesses d'achat parmi les 25 personnes appelées. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres. 
		\item Calculer la probabilité que l'opérateur obtient exactement 2 promesses d'achat d'un disque B200 sur les 25 personnes appelées. 
		\item Quelle est la probabilité que l'opérateur obtienne au moins une promesse d'achat sur les 25 personnes appelées ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}
 
Une enquête de satisfaction réalisée par le constructeur du disque A100, indique que 64\,\% des acquéreurs de ce disque en sont satisfaits.
 
On interroge au hasard $160$ acquéreurs du disque A100.
 
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients satisfaits par  leur achat.

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 160$ et $p = 0,64$.
 
On décide d'approcher la loi de la variable $Y$ par une loi normale $\mathcal{N}(m,~\sigma)$ de paramètres $m$ et $\sigma$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette loi normale a pour moyenne $102,4$ et pour écart-type 6,1 arrondi au dixième. 
\item On note $Z$ la variable aléatoire qui suit cette loi normale.
 
Calculer $p(Z \geqslant 120,5)$ c'est-à-dire la probabilité que le nombre de clients satisfaits par le disque A100 soit strictement supérieur à $120$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}
 
La variable aléatoire $T$ donnant la durée de fonctionnement d'un disque A100, exprimée en mois avant la première défaillance, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
 
Le service après-vente a pu établir que 30\,\% des disques A100 ont eu une défaillance avant la fin du 18\up{e} mois.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte du paramètre $\lambda$ et montrer que la valeur arrondie au centième de $\lambda$ est égale à 0,02.
\medskip
 
Pour les questions suivantes, on prendra pour $\lambda$ cette valeur $0,02$. 
\item Calculer la probabilité qu'un disque n'ait pas de défaillance au cours des 3 premières années. 
\item Calculer la Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement (MTBF) de ces disques durs.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\bigskip 

Un institut statistique conduit une étude à partir de données obtenues sur la période 2000 -- 2013. Cette étude porte sur l'évolution du pourcentage d'internautes au sein de la population française. 

Son objectif est de réaliser des estimations de ce pourcentage pour la période 2014-- 2050.
 
L'institut a ainsi modélisé cette situation par une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~50] par 

\[f(t) = \dfrac{100}{1 + 6\text{e}^{-0,25t}}\]
 
où $t$ est te temps écoulé en années depuis le 1\up{er} janvier 2000 et $f(t)$ le pourcentage d'internautes par rapport à l'ensemble de la population française à l'instant $(2000 + t)$.
 
Par exemple, $f(12) \approx  77,0$ signifie que la population française compte 77\,\% d'internautes au 1\up{er} janvier 2012. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'internautes au sein de la population française le 1\up{er} janvier 2000.
 
\emph{On arrondira le résultat au dixième.} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~50] on a : 

\[f'(t) = \dfrac{150\text{e}^{- 0,25t}}{\left(1 + 6\text{e}^{- 0,25t}\right)^2}.\]
 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~50].
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f(19)$. Peut-on affirmer qu'en 2019, le pourcentage d' internautes au sein de la population française sera d'au moins 95\,\% ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre par le calcul sur l'intervalle  [0~;~50] l'équation : $f(t) = 99,9$. 
		
\emph{On arrondira le résultat à l'unité.} 
		\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate} 
\item Soit la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~50J par : 

\[F(t) = 100t + 400 \ln \left(1 + 6\text{e}^{- 0,25t}\right).\]
 
On admet que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~500]. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne exacte de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~13]. 
		\item En donner une valeur arrondie au dixième. 
		\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}