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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{12 mai  2017}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 12   mai 2017~\decofourright\\Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Cet exercice envisage plusieurs études réalisées par une société qui pratique des sondages auprès de
ses clients.

Les trois parties sont indépendantes.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie 1}\end{center}

La société pratique les sondages par courriel, et a recueilli les données suivantes au cours de cinq
campagnes de sondage.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de clients contactés : $x$ &200 &200 &250 &280 &370\\ \hline
Nombre de sondages renvoyés : $y$ &140 &135 &160 &185 &260\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$, arrondi au centième.
\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième.
\item La société souhaite recevoir davantage de sondages, en contactant un plus grand nombre de
clients.

En utilisant l'ajustement affine trouvé à la question précédente, estimer le nombre de sondages
qui seront renvoyés si la société contacte $500$~clients, en arrondissant ce nombre à la dizaine.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie 2}\end{center}

\medskip

La société réalise un sondage auprès d'utilisateurs d'internet. On considère une personne choisie au
hasard dans la population des sondés.

On définit les évènements suivants :

\smallskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og la personne utilise internet depuis 5 ans ou plus \fg{} ;
\item[ ] $B$ : \og la personne répond au sondage \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Les statistiques de la société permettent de dégager les faits suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 75\,\% de la population des personnes sondées utilisent internet depuis 5 ans ou plus ;
\item[$\bullet~~$]  si une personne sondée utilise internet depuis 5 ans ou plus, la probabilité qu'elle réponde au sondage est égale à $0,6$ ;
\item[$\bullet~~$]  si une personne sondée utilise internet depuis strictement moins de 5 ans, la probabilité qu'elle réponde au sondage est égale à $0,3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Présenter la situation de l'énoncé à l'aide un arbre pondéré, que l'on complètera.
\item Calculer $P\left(\overline{A} \cap B\right)$, puis $P(B)$ en détaillant les calculs.
\item Calculer $P_B(A)$, en arrondissant au millième.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie 3}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La société étudie le temps mis par les personnes pour renseigner le questionnaire relatif à un
sondage donné. Elle modélise ce temps, exprimé en minute, par une variable aléatoire $T$ qui suit
la loi normale d'espérance $12,5$ et d'écart type $1,8$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner un arrondi au dixième du nombre $a$ tel que 
		
$P(12, 5 - a \leqslant T \leqslant 12, 5 + a) = 0,95$.
		\item Calculer $P(T \geqslant 15)$, en arrondissant au centième.
		
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  La société remarque que 20\,\% des personnes qui répondent aux sondages renseignent le
questionnaire de façon incomplète, et rendent de ce fait le sondage incomplet. De plus les
personnes qui renseignent un questionnaire le font indépendamment les unes des autres.

Pour un sondage donné, la société considère les \np{2000}~premières réponses reçues, et modélise le
nombre de sondages incomplets par une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Calculer la probabilité que le nombre de sondages incomplets soit inférieur ou égal à 385, en arrondissant le résultat au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Le chiffre d'affaires d'une start-up, dès son lancement, est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [4~;~10] par :

\[f(x) = x - 3 + \ln (2x - 4)\]

où $x$ est exprimé en mois et $f(x)$ en dizaines de milliers d'euro.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Étude de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel permet d'établir que pour tout réel $x$ de l'intervalle [4~;~10] :

\[f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x - 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois expressions \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, est correcte. Recopier sur la copie l'expression correcte, sans justification.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}		
\textbf{A} : $f'(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2}$& \textbf{B} : $f'(x) = \dfrac{2}{x - 2}$& \textbf{C} : $f'(x) = \dfrac{x}{x - 1}$\\
\end{tabularx}
\medskip

		\item Quel est le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [4~;~10] ?
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [4~;~10]. On arrondira les valeurs de $f(4)$ et $f(10)$ au centième.
		\item Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois propositions \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C} est correcte. 
		
Recopier la proposition correcte, sans justification :

\smallskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Proposition A : \og L'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $alpha$ dans l'intervalle [4~;~10], avec $\alpha \approx  4,3$ (arrondi au dixième) \fg.
\item[$\bullet~~$]Proposition B : \og L'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $alpha$ dans l'intervalle[4~;~10], avec $\alpha= 4,42$ (arrondi au centième) \fg,
\item[$\bullet~~$]Proposition C : \og L'équation $f(x) = 3$ admet deux solutions distinctes $\alpha$ et $\beta$ dans l'intervalle [4~;~10] \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les résultats au centième.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&4		&5 	&6 	&7 	&8		&9 	&10\\ \hline
$f(x)$	&2,39	&	&	&	&7,48	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le repère \Oij. On pourra choisir 1 cm pour unité.

Placer sur cette courbe le point A d'abscisse $\alpha$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l'aire s'exprime par l'intégrale:

\[I = \displaystyle\int_4^8 f(x)\:\text{d}x,\:\text{ en unité d'aire}.\]

		\item Sur l'intervalle [4~;~8], on approche la courbe $\mathcal{C}_f$ par un segment de droite, dont les extrémités sont les points de la courbe $\mathcal{C}_f$ ayant pour abscisses 4 et 8.
		
En utilisant cette approximation graphique, donner une valeur approchée à l'unité de l'intégrale $I$.
		\item En déduire la valeur approchée à l'unité de la valeur moyenne de la fonction $I$ sur
l'intervalle [4~;~8].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Interprétations}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de mois après son lancement le chiffre d'affaires de cette start-up atteint-t-il \np{30000}~euros, selon le modèle adopté dans cet exercice ?
\item  Donner une estimation du chiffre d'affaires moyen par mois de cette start-up entre le 4\up{e} et le 8\up{e} mois.
\end{enumerate}
\end{document}