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%Sujet aimablement communiqué par Alain Vanbuckhave
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{novembre 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Nouvelle Calédonie novembre 2017~\decofourright\\[4pt]  Services informatiques aux organisations mathématiques approfondies}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un nouveau smartphone est mis en vente. Soit $x$ le prix unitaire en centaines d'euro de ce smartphone.

\smallskip

La fonction d'offre des fournisseurs (en milliers de smartphones) est la fonction $f$ définie sur  ]0~;~6] par 

\[f(x) = 0,7 \text{e}^{0,5x +2}\]

où $f(x)$ modélise la quantité proposée par les fournisseurs pour un prix
unitaire de $x$ en centaines d'euro.

La fonction de demande des consommateurs (en milliers de smartphones) est la fonction $g$ définie sur ]0~;~6] par 

\[g(x) = 10 \ln \left(\dfrac{20}{x}\right)\]

où $g(x)$ modélise la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de $x$ en centaines d'euro.

Les courbes représentatives $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de $f$ et de $g$ sont tracées dans le repère orthogonal fourni en annexe. 

Le point d'équilibre de l'offre et de la demande, noté A, est le point d'intersection des
courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Identifier la courbe correspondant à $f$ et celle correspondant à $g$, en justifiant la réponse.
\item À partir d'une lecture graphique, donner les coordonnées $\left(x_0~;~y_0\right)$ du point A. On laissera apparents les traits de construction.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Pour déterminer les coordonnées du point A de façon précise, on est amené à résoudre l'équation 

$f(x) = g (x)$. 

On pose, pour tout $x$ appartenant à ]0~;~6], $h(x) = f(x) - g (x)$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{m{0.5cm}|X}
\multicolumn{2}{l}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\ \hline
1&$0,7\text{exp}(0,5x+2)$

Dérivée : $\dfrac{7}{20\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\text{e}^{\frac{1}{2}x+2}$\\ \hline
2&$0,7\text{exp}(0,5x+2)$

Intégrale : $\dfrac{7}{5\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\text{e}^{\frac{1}{2}x+2} + c_1$\\ \hline

3&$10 \ln (20/x)$

Dérivée : $- \dfrac{10}{x\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\ \hline
4&$10\ln (20/x)$

Intégrale :  $10 \left[x \ln \left(\dfrac{20}{x}\right) + x\right] + c_2$
\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de ces résultats, déterminer les fonctions dérivées de $f$ et de $g$.
		\item En déduire que la dérivée de $h$ s'exprime, pour tout $x$ de ]0~;~6], par $h'(x) = 0,35 \text{e}^{0,5x + 2} + \dfrac{10}{x}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $h'(x)$ sur l'intervalle ]0~;~6].
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0_+} h(x) = - \infty$.
		
Établir le tableau des variations de $h$ sur l'intervalle ]0~;~6].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_0$ sur l'intervalle [2~;~3].
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur arrondie au centième de $x_0$.
	\end{enumerate}
\item En déduire le prix unitaire d'équilibre de ce smartphone en euro et le nombre de smartphones disponibles à ce prix (arrondir à la centaine).
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On prendra dans cette question $x_0 = 2,7$ et $y_0 = 20$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des résultats du logiciel de calcul formel, donner une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~6].
\item On appelle \og surplus des fournisseurs \fg{} le nombre $S = x_0y_0 - \displaystyle\int_0^{x_0} f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre $S$ représente l'aire d'un domaine du plan qui est la différence entre deux aires.
		
Hachurer sur la feuille annexe le domaine d'aire $S$.
		\item Calculer la valeur de $S$ (arrondir au dixième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Sauf indication contraire, les résultats non entiers seront arrondis au millième.\\ Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie 1 - calcul de probabilités}

\medskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des clés USB. Les clés USB produites peuvent présenter deux défauts: le défaut A et le défaut B.

On sait que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item 5\,\% des pièces produites présentent le défaut B ;
\item parmi les pièces présentant le défaut B, 20\,\% ont le défaut A ;
\item parmi les pièces ne présentant pas le défaut B, 6\,\% ont le défaut A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $A$ l'évènement \og la clé USB présente le défaut A\fg{} et $B$ l'évènement \og la clé USB présente le défaut~B \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
\item Calculer la probabilité que la clé USB présente le défaut A.
\item Calculer la probabilité que la dé USB présente le défaut B sachant qu'elle a le défaut A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 - loi binomiale}

\medskip

On note $E$ l'évènement \og la clé USB prélevée au hasard dans un stock important a un défaut \fg. 

On suppose que $P(E) = 0,107$. On prélève au hasard quatre clés USB dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre clés USB. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de quatre clés, associe
le nombre de clés USB de ce prélèvement ayant un défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une clé USB soit défectueuse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 - approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip

Les clés USB sont commercialisées par lot de \np{1000}. On prélève au hasard un lot de \np{1000} dans un dépôt de l'entreprise. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de \np{1000} clés USB. 

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de \np{1000} clés USB, associe le nombre de clés USB présentant un défaut parmi ces \np{1000} clés USB. 

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \np{1000}$ et $p = 0,107$.

On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire discrète $Y$ par la loi normale de moyenne $107$ et d'écart-type $9,78$. On note $Z$ la variable aléatoire suivant cette loi normale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les paramètres de la loi normale suivie par $Z$.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus $95$ clés USB présentant un défaut dans le lot de \np{1000} clés USB, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant  95,5)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 4 - loi exponentielle}

\medskip

Un technicien est chargé d'étudier le fonctionnement des clés USB. Après une étude statistique, il est arrivé à la conclusion que la variable aléatoire $T$ qui, à chaque clé USB, associe sa durée de vie en jour suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,007$ jour$^{-1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est, à un jour près, la durée de vie moyenne d'une clé USB.
\item Calculer la probabilité pour qu'une clé USB ne soit plus en état de fonctionnement au bout de $200$~jours.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Exercice 1}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.125cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(7,120)
\multido{\n=0.0+0.5}{15}{\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=cyan](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+10}{13}{\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=cyan](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(7,120)
\uput[u](6,0){$x$ en centaine d'euros}
\uput[r](0,118){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2.71828 0.5 x mul 2 add exp 0.7 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.01}{6}{20 x div ln 10 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}