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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve facultative}}
\rfoot{\small{10 novembre  2015}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie~\decofourright\\ 10 novembre 2015\\ Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative --Calculatrice autorisée}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième.}

\smallskip

Une entreprise européenne fabrique, en grande quantité, des composants électroniques. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le composant est conforme aux normes en vigueur.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les composants sont produits en grande quantité par deux machines M$_1$ et M$_2$. La machine M$_1$ fournit 60\,\% de la production totale de composants et la machine M$_2$ en fournit 40\,\%.

Lorsqu'on prélève un composant au hasard, la probabilité qu'il soit conforme est égale à $0,914$ lorsqu'il provient de la machine M$_1$ et à 0,879 lorsqu'il provient de la machine M$_2$.

On prélève au hasard un composant parmi la production totale de l'entreprise.

Tous les composants ont la même probabilité d'être tirés.

On définit les évènements :

\setlength\parindent{2cm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og le composant provient de la machine M$_1$ \fg{} ;
\item[ ] $B$ : \og le composant provient de la machine M$_2$ \fg{} ;
\item[ ] $C$ : \og le composant est conforme \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'énoncé, donner les probabilités $P(A),\: P(B),\: P_A(C)$ et $P_B (C)$.
\item Construire un arbre pondéré pour illustrer la situation.
\item Démontrer que $P(C) = 0,9$ et formuler une interprétation de ce résultat.
\item Le composant est conforme. Quelle est la probabilité qu'il ait été produit par la machine M$_1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On prélève au hasard 10 composants dans le stock. Ce stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à 10 tirages avec remise. On note $X$ la variable aléatoire indiquant, pour tout prélèvement de 10 composants, le nombre de composants conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité de la variable $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un prélèvement, $8$ composants exactement soient conformes.
\item Calculer $P(X \leqslant 9)$. Interpréter le résultat trouvé par une phrase.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise constate que les composants sont fragiles. Elle souhaite proposer à ses clients une période supplémentaire de garantie, après remplacement d'un composant défaillant. Une étude statistique montre que la moyenne des durées de bon fonctionnement d'un composant après remplacement est de 400 jours.

On admet qu'après remplacement, la durée de bon fonctionnement d'un composant, exprimée en jour, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le paramètre de cette loi exponentielle, exprimé en jour$^{-1}$, est égal à $\lambda = \np{0,0025}$.
\item Calculer la probabilité pour qu'un composant n'ait pas de défaillance au cours de l'année qui suit le remplacement, en considérant qu'une année compte 365 jours.
\item Calculer la probabilité pour qu'un composant tombe en panne au cours des deux années suivant le remplacement.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Pour traiter un problème informatique, on dispose de deux algorithmes A$_1$ et A$_2$, qui sont implémentés sur un même ordinateur à l'aide du même logiciel de programmation.

Les deux programmes informatiques correspondant aux algorithmes A$_1$ et A$_2$ ont des durées d'exécution respectives notés $d_1$ et $d_2$, qui sont exprimées en kc (milliers de cycles d'horloge).

Ces durées dépendent toutes deux d'un entier naturel $p$, compris entre $30$ et \np{10000}, qui est une caractéristique du problème.

La durée $d_1$ dépend du nombre de chiffres utilisés dans l'écriture de l'entier $p$, et donc de son logarithme népérien, noté $\ln (p)$.

Une étude statistique a permis de modéliser cette durée $d_1$ exprimée en kc, par l'expression :

\[d_1 = \np{10080} \times \ln (p) + \np{67550}.\]

Le but de l'exercice est d'exprimer la durée $d_2$ en fonction de l'entier $p$, puis de comparer les durées $d_1$ et $d_2$ selon les valeurs de l'entier $p$.

\bigskip

\textbf{Partie A : expression de \boldmath$d_2$ \unboldmath en fonction de }\boldmath $p$ \unboldmath

\medskip

Le tableau suivant rassemble les instructions de programmation de l'algorithme A$_2$, ainsi que les temps d'exécution correspondants du programme utilisé.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{8cm}|X|}\hline
Instructions& Temps d'exécution\\ \hline
Variables : $p$ \emph{est un entier compris entre $30$ et }\np{10000}& 0 kc\\ \hline
Initialisation &\np{1200} kc\\ \hline
Traitement&\\
\hspace{0.5cm}\emph{Boucle $1$ (à répéter $p$ fois)} :&\\
\hspace{1cm}\emph{Instructions fixes de la boucle} 1& 135 kc\\
\hspace{1cm}\emph{Boucle $2$ (à répéter $12$ fois)} :&\\
\hspace{1.5cm}\emph{Instructions fixes de la boucle }2 &18 kc\\
\hspace{1.5cm}\emph{Boucle $3$ (à répéter $12$ fois)} :&\\
\hspace{2cm}\emph{Instructions fixes de la boucle }3 &0,75 kc\\
\hspace{1.5cm}\emph{Fin boucle }3&\\
\hspace{1cm}\emph{Fin boucle }2&\\
\hspace{0.5cm}\emph{Fin boucle }1&\\ \hline
Sortie &0 kc\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer, en kc, la durée de chaque passage dans la boucle 2. En déduire la durée totale de la boucle 2 (12 passages).
\item Montrer que la durée de chaque passage dans la boucle 1 est égale à $459$ kc.
\item En déduire que la durée $d_2$ d'exécution du programme correspondant à l'algorithme A$_2$, exprimée en kc, s'exprime par : $d_2 = 459p + \np{1200}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de fonctions}

\medskip

On considère les fonction $f,\: g$ et $h$ définies pour tout réel $x$ de l'intervalle $[30~;~\np{10000}]$ par :

\[f(x)= \np{10080}\ln (x) + \np{67550},\quad  g(x) = 459x+ \np{1200}\:\: \text{et}\:\: h(x) = f(x) - g(x).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $h'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [30; 10000], on a :

\[h'(x) = \dfrac{\np{10080} - 459x}{x}.\]

\item Sur l'intervalle $[30~;~\np{10000}]$, étudier le signe de $h'(x)$, et dresser le tableau de variations de la fonction $h$.
\item En déduire qu'il existe un unique réel $r$ dans l'intervalle $[30~;~\np{10000}]$, tel que $h(r) = 0$.

Donner un encadrement de ce nombre $r$ par deux entiers consécutifs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : retour au problème initial}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on pose $p = \np{1100}$.
\item Avec cette valeur de $p$, calculer et comparer les durées $d_1$ et $d_2$ d'exécution de chacun des deux programmes, liés aux algorithmes A$_1$ et A$_2$.
\item En utilisant la partie B, comparer suivant les valeurs de l'entier $p$ appartenant à l'intervalle $[30~;~\np{10000}]$, les durées d'exécution de chacun des programmes.
\item Un utilisateur emploie régulièrement les deux programmes, uniquement avec des valeurs de
l'entier $p$ régulièrement réparties entre \np{1000} et \np{1200}.

Pour cet utilisateur, on peut ainsi modéliser la durée moyenne d'exécution du programme lié à l'algorithme A$_1$ par la valeur moyenne, sur l'intervalle [\np{1000}~;~\np{1200}], de la fonction $f$ définie dans la partie B. 

On note $m_1$ cette valeur moyenne.
	\begin{enumerate}
		\item En arrondissant à l'entier, une calculatrice donne la valeur : 
		
		$\displaystyle\int_{\np{1000}}^{\np{1200}} f(x)\:\text{d}x = \np{27625396}$.

Calculer, pour l'utilisateur, la durée moyenne $m_1$ du programme lié à l'algorithme A$_1$.
		
Arrondir le résultat au kc.
		\item De même, pour l'utilisateur, on modélise la durée moyenne d'exécution du programme lié à l'algorithme A$_2$ par la valeur moyenne, sur l'intervalle [\np{1000}~;~\np{1200}], de la fonction $g$ définie dans la partie B.
		
Calculer cette durée moyenne, notée $m_2$, en arrondissant le résultat au kc.
		
Comparer la rapidité des deux programmes correspondant aux algorithmes A$_1$ et A$_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}