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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%   le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%   le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur \\
Métropole Antilles-Guyane Polynésie}
\lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques approfondies}
\rfoot{\small 16 mai 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 16 mai 2025~\decofourright\\[7pt]
Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt]
\textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}

\medskip

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En $2023$, une entreprise jetait $20$ tonnes d’emballages cartonnés. Elle souhaite réduire la quantité d’emballages cartonnés qu’elle jette de $3\,\%$ par an en réutilisant les cartons les moins abîmés.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de tonnes d’emballages cartonnés jetés par l’entreprise durant l’année $2023 + n$. Ainsi on a $u_0 = 20$.

\begin{enumerate}
  \item 
    \begin{enumerate}
      \item Calculer $u_1$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
      \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
      \item Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
      \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
      \item En déduire, à $0,001$ tonne près, le nombre de tonnes d’emballages cartonnés jetés en 2029.
      \item Déterminer, en justifiant la réponse, l’année à partir de laquelle l’entreprise jettera moins de 15 tonnes d’emballages cartonnés par an.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Après avoir trié et stocké les emballages en carton qu’elle pouvait réutiliser, l’équipe chargée du tri a constaté que :

\medskip

\begin{itemize}
\item $22\,\%$ des emballages en carton réutilisables nécessitent d’être consolidés ;
\item parmi les emballages en carton qui ne nécessitent pas d’être consolidés, 83\,\% sont de petite taille ;
\item parmi les emballages en carton qui doivent être consolidés, 5\,\% sont de petite taille.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard un emballage en carton réutilisable dans le stock.
On considère les évènements suivants :

\medskip

$\,C\colon$ « l’emballage doit être consolidé » ;

$\,T\colon$ « l’emballage est de petite taille ».

\medskip

On rappelle que, quel que soit l’évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire.

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré en respectant les notations données ci-dessus.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de $C \cap T$ et donner une interprétation du résultat trouvé.
\item Montrer que $P(T) = 0,6584$ et donner une interprétation du résultat trouvé.
\end{enumerate}

\item Un emballage en carton de petite taille est prélevé au hasard dans le stock.  
Déterminer la probabilité qu’il nécessite d’être consolidé. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.

Les emballages en carton réutilisables sont rangés dans des caisses hermétiques pouvant contenir 20 cartons pliés. Pour constituer ces caisses, l’entreprise prélève au hasard 20 cartons réutilisables dans son stock. Ce stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 20 cartons, associe le nombre de ceux qui ont été consolidés.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
  \item
    \begin{enumerate}
      \item Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun carton qui ait été consolidé.
      \item Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 4 cartons consolidés dans le lot choisi au hasard.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise de jardinage s’est lancée dans l’e-commerce depuis $2017$. On a répertorié son chiffre d’affaires en milliers d’euros (k\euro) réalisé chaque année jusqu’en $2023$.



\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{ | c|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline
Année & $2017$ & $2018$ & $2019$ & $2020$ & $2021$ & $2022$ & $2023$ \\ \hline
Rang de l’année : $x_i$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ \\ \hline
Chiffre d’affaires en k\euro\ : $y_i$ & $81,7$ & $120,3$ & $150,2$ & $200,3$ & $286,1$ & $402,1$ & $512,3$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On souhaite estimer le chiffre d’affaires de cette entreprise en $2026$.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $0,01$.
\renewcommand{\arraystretch}{2}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{ |c | *{7}{>{\centering\arraybackslash} X|} }
\hline
Rang de l’année : $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline
$z_i = \ln y_i$ & & & & & & & \\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement de $z$ en $x$, on arrondira les coefficients au centième.
\item Justifier que le chiffre d’affaires $y$ pour l’année de rang $x$ peut être modélisé par l’expression

\[y = A \e^{B x}\]

où $A = 61{,}56$ et $B = 0{,}31$ à $0{,}01$ près.

item À l’aide de l’ajustement trouvé précédemment, estimer le chiffre d’affaires de cette entreprise en $2026$. Arrondir à $0{,}01$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Suite à une modernisation de son site de vente en ligne, l'entreprise étudie pendant $24$ heures le nombre de visites sur ce site, le jour d'ouverture des soldes. Le nombre de visites en milliers est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\;;\;24]$ par

\[f(x) = 55x\e^{-0,4x}\]

où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis 7 h du matin.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ appartenant à $[0\;;\;24]$, vérifier que 

\[f'(x) = \e^{-0,4x}(-22x + 55).\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0\;;\;24]$.
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. Arrondir la valeur des images au centième si besoin.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de visites maximal durant ces 24 heures.
		\item Au bout de combien d'heures ce nombre de visites maximal est-il atteint ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x)=20$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\;;\;2,5]$.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée par excès à $0,1$ près de $\alpha$.
		\item On admet que l'équation $f(x)=20$ admet également une unique solution sur $[2,5\;;\;24]$ et qu'une valeur approchée à $0{,}1$ près par défaut de cette solution est $7{,}5$.

\medskip

Déterminer le nombre d'heures pendant lesquelles il y a eu plus de \np{20000} visites sur le site.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}