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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Mathématiques approfondies}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole mai 2022~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\medskip

\textbf{Mathématiques approfondies}

\vspace{0,25cm}

Seuls les points supérieurs à $10$ sont pris en compte.

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 :  \hfill 10 points}

\medskip

Une start-up fabrique entre 100 et \np{2000} ordinateurs par jour. On admet que si la start-up fabrique $x$ \textbf{centaines} d'ordinateurs, le bénéfice en \textbf{centaines} d'euros est modélisé par :

\[f(x) = 80x\text{e}^{-0,2x},\quad  \text{avec}\: x \in [1~;~20].\]

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal, \textbf{donnée en annexe, à rendre avec la copie}.

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude graphique}

\medskip

À l'aide du graphique et en laissant les traits de construction apparents:

\begin{enumerate}
\item déterminer le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~20] ;
\item résoudre l'équation $f(x) = 100$, avec la précision permise par le graphique.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout $x$ appartenant [1~;~20],\: $f'(x) = 80 \text{e}^{-0,2x}(1 - 0,2x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~20].
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ (les images seront, si besoin, arrondies au centième).
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 100$ admet une unique solution sur l'intervalle [1~;~5] puis en déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée au centième.

On admet que sur l'intervalle [5~;~20] l'équation $f(x) = 100$ admet également une unique solution égale à environ $10,76$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C- Interprétation}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le bénéfice maximal à l'euro près réalisé par la start-up et le nombre d'ordinateurs fabriqués pour le réaliser.
\item Entre quelles valeurs doit être compris le nombre d'ordinateurs fabriqués pour que la start-up réalise un bénéfice supérieur ou égal à \np{10000} euros ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :  \hfill 10 points}

\medskip

Le directeur d'une entreprise fabriquant des cartes mères souhaite optimiser la production mensuelle. Il possède deux sites distincts notés A et B. 

Le site A produit 65\,\% des cartes mères, le reste provient du site B. 

Il a constaté que 0,8\,\% des cartes produites par A sont défectueuses alors que, sur le site B, la part des cartes défectueuses est de 0,5\,\%.

\medskip

\emph{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes}.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève au hasard une carte mère à la sortie de la chaîne de production. On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ : \og la carte a été produite par l'usine A. \fg
\item[$\bullet~~$]$B$ : \og La carte a été produite par l'usine B.\fg
\item[$\bullet~~$]$D$ : \og La carte est défectueuse. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que, quel que soit l'évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré en respectant les notations données ci-dessus.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap D$ et donner une interprétation du résultat trouvé.
		\item Montrer que $p(D) = \np{0,00695}$ et donner une interprétation du résultat trouvé.

	\end{enumerate}
\item Une carte défectueuse a été prélevée au hasard dans le lot.

Quelle est la probabilité qu'elle ait été produite par l'usine A ? On arrondira le résultat au millième.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.

On considère dans cette partie que la probabilité qu'une carte soit défectueuse est égale à $0,007$.

Les cartes produites par la start-up sont vendues par lots de $30$. Avant expédition, on prélève au hasard un lot de $30$ cartes pour vérifier leur bon fonctionnement. Le stock est
suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, pour un lot de $30$ cartes prélevées, dénombre celles qui sont défectueuses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'aucune carte prélevée ne soit défectueuse.
		\item En déduire la probabilité qu'au moins une carte prélevée présente un défaut
dans le lot choisi au hasard.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, l'équipe de production du site A souhaite étudier le débit du bus FSB des cartes mères qu'elle produit.

On note $Y$ la variable aléatoire qui modélise ce débit en Mo/s (méga octet par seconde). 

On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $\mu = \np{1350}$ et d'écart-type $\sigma = 33$.

On prélève au hasard une carte mère à la sortie de la chaîne de production.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le débit de la carte choisie soit compris entre \np{1317} et \np{1383} Mo/s. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Déterminer la plus grande valeur de l'entier $k$ tel que $P(Y > k) \geqslant 0,95$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\vspace{3cm}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(21,160)
\multido{\n=1+1}{21}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,160)}
\multido{\n=0+5}{33}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(21,160)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{20}{80 x mul 2.71828 0.2 x mul exp div}
\uput[ur](18,40){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}