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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{mai 2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Polynésie mai 2019~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Après l'obtention de leur BTS SIO, trois amis décident de créer un jeu vidéo nommé \og escape
game \fg. Les différentes tâches de la réalisation de ce projet sont décrites dans le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nom simplifié de la tâche&Description de la tâche& Durée en jour& Tâches précédentes\\ \hline
A& Choix du matériel et achats &1 &F\\ \hline
B& Fabrication du matériel &5 &A\\ \hline
C& Inauguration &1 &E\\ \hline
D& Livraison du matériel &1 &B, A, G\\ \hline
E& Mise en place du matériel et essais &5& D, H\\ \hline
F& Recherche des énigmes &4& -\\ \hline
G& Recherche des locaux &9& -\\ \hline
H& Rédaction du scénario complet &5 &F\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le niveau de chacun des sommets.
\item Donner le tableau des successeurs de chaque sommet.
\item Construire le graphe d'ordonnancement du projet (méthode M. P{}. M. ou P{}. E. R. T.) en incluant
les dates au plus tôt et au plus tard.
\item Donner le chemin critique et la durée minimale du projet.
\item Calculer la marge totale de la tâche H et donner une interprétation de ce résultat.
\item Un célèbre animateur accepte d'assister à l'inauguration si elle a lieu $15$ jours après le lancement du projet. Les tâches A, B, C, D, E ont une durée incompressible. De quelle(s) tâche(s) doit-on réduire la durée pour que l'inauguration puisse avoir lieu le jour fixé ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Les parties A et B étudient deux éléments d'un jeu vidéo nommé \og escape game \fg. Elles sont
indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le jeu vidéo comprend un coffre-fort. Son ouverture dépend de trois paramètres : une clé que doit
trouver le joueur, une énigme à résoudre, la durée de ces deux tâches (donnée par un chronomètre).

Le coffre s'ouvre si l'une au moins des conditions suivantes est réalisée :

\begin{itemize}
\item le joueur a trouvé la clé et le chronomètre marque $30$ minutes ou plus, ou
\item l'énigme est résolue et le chronomètre marque strictement moins de $30$ minutes, ou
\item le joueur a trouvé la clé et l'énigme n'est pas résolue.
\end{itemize}

On définit trois variables booléennes $a$, $b$, $c$ de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item $a = 1$ si le joueur a trouvé la clé, $a = 0$ sinon;
\item $b = 1$ si l'énigme est résolue, $b = 0$ sinon;
\item $c = 1$ si le chronomètre marque strictement moins de $30$ minutes, $c = 0$ sinon.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire une expression booléenne $E$ qui traduit les critères d'ouverture du coffre-fort.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Représenter l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh.
		\item  En déduire une écriture simplifiée de l'expression booléenne $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.
		\item  Interpréter cette expression simplifiée dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  Donner une écriture simplifiée de $\overline{E}$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour passer un niveau dans le jeu, il faut taper sur un clavier un code de 6 caractères comprenant des
lettres et des chiffres. Le joueur peut trouver ces chiffres en résolvant trois énigmes numériques, qui
sont décrites dans les questions 1, 2, 3.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le caractère de gauche du code est le nombre de diviseurs positifs de 2019. Cette question
détaille la détermination de ce nombre.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le fait que 673 est un nombre premier.
		\item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 2019.
		\item Déterminer tous les diviseurs positifs de 2019. En déduire le nombre cherché.
 	\end{enumerate}
\item Les 2\up{e}, 3\up{e} et 4\up{e} caractères du code en partant de la gauche sont, dans cet ordre, les chiffres de l'écriture hexadécimale du nombre 2019.
	
Trouver ces caractères en détaillant les calculs.
\item Cette question détaille la détermination des deux derniers caractères du code, ce qui demande
d'abord de résoudre l'équation $n^2 + n + 1 \equiv  0 \;\mod 7$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les restes possibles de la division de $n^2 + n + 1$ par 7 en fonction des restes possibles de la division de $n$ par 7. 
		
On pourra pour cela recopier et compléter le tableau
suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Reste possible de la division de $n$ par 7 &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\\hline
Reste possible de la division de $n^2$ par 7&&&&&&&\\\hline
Reste possible de la division de $n^2 + n + 1$ par 7&&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  On peut lire dans le tableau ci-dessus, après l'avoir complété, que les entiers de la forme $7 k + 2$, avec $k$ entier naturel, sont des solutions de l'équation $n^2 + n + 1 \equiv  0 \;\mod 7$.

Donner les autres solutions sous une forme analogue.
		\item  En déduire le nombre de solutions de l'équation $n^2 + n + 1 \equiv  0 \;\mod 7$ qui sont comprises entre $0$ et $101$.
		\item  Les deux derniers caractères à droite sont, dans cet ordre, les chiffres en base dix du nombre trouvé en \textbf{c}. Donner ces deux caractères.
	\end{enumerate}
\item Choisir sans justification la bonne réponse.
	
Le code à taper pour passer le niveau du jeu est:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}	
Réponse A~~: 43E730 	&Réponse B~~ : 47E329\\
Réponse C~~ : 33E729 	&Réponse D~~ : 27E330\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Pour un jeu vidéo nommé \og escape game \fg, il est prévu des abonnements pour une durée de deux
ans.

Lors de la mise en service du jeu, $40$ personnes se sont abonnées. Les dirigeants estiment qu'à partir
du jour suivant l'inauguration, le nombre de nouveaux abonnés va augmenter de 5\,\% chaque mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre estimé de nouveaux abonnés $n$ mois après
l'ouverture. Ainsi $u_0 = 40$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'entier le plus proche.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis, pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
 	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n$ le nombre total d'abonnés $n$ mois après l'ouverture du jeu.
	
Ainsi $S_0 = 40$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité $S_1 = 82$.
		\item Combien de mois après l'ouverture du jeu le nombre estimé d'abonnés sera-t-il supérieur à
$200$ ?
		\item Estimer le nombre total d'abonnés un an après l'ouverture du jeu.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}