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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ Mathématiques approfondies}}
\rfoot{\small{mai 2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Polynésie mai 2019~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Mathématiques approfondies}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième}.

\medskip

Une entreprise qui assemble des ordinateurs achète et stocke un certain type de composants
informatiques. Le but de cet exercice est d'étudier certains aspects liés à ces composants.

Les parties A, B, C et D peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'entreprise achète les composants auprès de deux fournisseurs nommés A et B. Le fournisseur A
lui procure 60\,\% de ses composants, le reste provient du fournisseur B.

Une étude statistique révèle que 0,5\,\% des composants provenant du fournisseur A sont défectueux,
et que 1\,\% de ceux provenant du fournisseur B le sont également.

On prélève au hasard un composant dans le stock de l'entreprise.

On note A l'évènement \og le composant provient du fournisseur A\fg{} et D l'évènement \og le
composant est défectueux \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé dans un arbre de probabilités à l'aide des évènements A et D.
\item  Calculer la probabilité de l'évènement D.
\item  Sachant que le composant prélevé est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne du
fournisseur B ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que 0,7\,\% des composants du stock de l'entreprise sont défectueux.

Un technicien prélève au hasard $50$ composants dans ce stock pour réaliser des assemblages. On
considère que le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement de $50$
composants à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, parmi les $50$ composants prélevés, comptabilise le nombre de
composants défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Donner ses paramètres.
\item Calculer la probabilité que le prélèvement ne comporte aucun composant défectueux.
\item Calculer la probabilité que le prélèvement comporte au plus un composant défectueux.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour un certain type d'assemblage, le besoin journalier d'un technicien de l'entreprise, en nombre
de composants, peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de paramètres
$\mu = 100$ et $\sigma = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'un jour donné le technicien ait besoin de plus de $110$ composants?
\item  Au début d'une journée, le technicien constate qu'il n'y a plus que $90$ composants en stock.

Quelle est la probabilité que, ce jour-là, il ne puisse pas finir son travail ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

La durée de vie, en mois, d'un composant, peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit
une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $\lambda$ la probabilité $P(T \geqslant t)$.
\item Sachant que $P(T > 24) = 0,698$, calculer $\lambda$ en arrondissant la valeur au millième.
\item Dans cette question on prendra $\lambda = 0,015$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable $T$, arrondie à l'unité.
		\item Calculer la probabilité que le composant fonctionne encore au bout de 3 ans.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise vend en ligne deux types de matériel informatique, nommés A et B, pendant
plusieurs années. On considère qu'une personne est un client si elle a acheté au moins une fois l'un
des types de matériel au cours de l'année écoulée. 

En étudiant le fichier de l'entreprise, en fonction du temps à partir du 1\up{er} janvier 2015, on modélise le nombre de clients pour le type A par une fonction $f$ et celui des clients pour le type B par une autre fonction $g$. On suppose que ce modèle reste valide pendant 12 ans, jusqu'au 31 décembre 2026.

\smallskip

On exprime la variable $t$ en année à partir du 1\up{er} janvier 2015, $f(t)$ et $g(t)$ en milliers de clients.

Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur l'intervalle [0~;~12] par les expressions:

\[f(t) = \ln (2,5t + 1) + 3 \quad \text{et}\quad  g(t) = \text{e}^{0,2t} + 1.\]

Leurs représentations graphiques dans un repère orthogonal sont données ci-après.
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(12,9)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{2.5 x mul 1 add ln 3 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10.38}{2.71828  0.2 x mul exp  1 add }
\uput[d](9.5,6.1){\blue $\mathcal{C}_1$}
\uput[u](9.5,7.9){\red $\mathcal{C}_2$}
\uput[u](11.8,0){$t$} \uput[r](0,8.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tableau de valeurs et reconnaissance des courbes
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant au centième.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&2	&5	&6	&7	&8	&12\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
$g(t)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Associer chacune des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ aux deux fonctions $f$ et $g$. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  Lectures graphiques
Avec la précision permise par la lecture graphique, répondre aux questions suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\alpha$ la solution positive de l'équation $f(t) = g(t)$.
		
Donner une valeur approchée à l'unité de $\alpha$. Interpréter cette valeur dans le contexte de
l'exercice.
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(t) \geqslant  g(t)$ dans l'intervalle [0~;~12].
		
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item À l'aide du graphique, estimer la valeur de $t$ pour laquelle la différence $f(t) - g(t)$ est maximale. 
		
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur du nombre $\alpha$ défini en \textbf{2. a.}, en arrondissant cette valeur au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette partie est de comparer les nombres moyens annuels de clients pour chacun des deux
types de matériels, entre le 1\up{er} janvier 2015 et le 31 décembre 2026.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cas du matériel A
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu pour primitive de la fonction $f$ sur
l'intervalle [0~;~12] la fonction $F$ définie pour tout réel $t$ de cet intervalle par:
		
\[F(t) = 2t + 0,4 \ln (t + 0,4) + t\ln(2,5t + 1).\]
		
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{12}f(t) \:\text{d}t$.
		\item Calculer la valeur moyenne, arrondie au dixième, de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12].
		
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  Cas du matériel B
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~12] par $h(t) = 5\text{e}^{0,2t}$. Calculer $h'(t)$.
		\item En déduire une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~12].
		\item Démontrer que la valeur arrondie au dixième de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{12} g(t)\:\text{d}t$ est égale à $62,1$.
		\item En déduire une valeur moyenne approchée de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~12]. 
 	\end{enumerate}.
\item Comparaison
	
Entre le 1\up{er} janvier 2015 et le 31 décembre 2026, pour lequel des deux types de matériel le
nombre moyen annuel de clients sera-t-il le plus élevé ? 
	
Quel est ce nombre, arrondi à l'unité?
\end{enumerate}
\end{document}