%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS},
pdftitle = {Métropole mai 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{11 mai  2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 11   mai 2015~\decofourright\\Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Une société de services et d'ingénierie informatiques planifie la mis en place d'un nouveau
système d'information interne dans une entreprise. Les tâches nécessaires à la réalisation de ce
projet sont répertoriées dans le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tâche à réaliser&\footnotesize Repère&\footnotesize Durée en jours&\footnotesize Tâche(s) précédente(s)&\footnotesize Nombre d'intervenants nécessaires\\ \hline
Établissement  du cahier des charges&A& 2&& 2\\ \hline
Rédaction du cahier technique& B&2& A& 2\\ \hline
Définition des droits d'accès aux données& C& 1& B& 1\\ \hline
Choix, achat du matériel& D& 4& B& 3\\ \hline
Installation du matériel& E& 1& D&2\\ \hline
Formation des responsables techniques&F &2&C, D& 1\\ \hline
Installation et paramétrage du système&G&2&C, E&2\\ \hline
Réduction de la notice d'utilisation et information des salariés&H& 1&F, G& 2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On souhaite ordonner la réalisation de ces tâches de façon à ce que le nouveau système soit
fonctionnel le plus tôt possible.

Pour cela, on considère le graphe orienté correspondant eux conditions d'antériorité données par le
tableau précédent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le niveau de chacun des sommets de ce graphe.
\item Donner le tableau des successeurs de chaque sommet.
\item Construire le graphe d'ordonnancement du projet (selon la méthode P{}.~E.~R.~T. ou M. P. M.).

Déterminer pour chaque tâche les dates au plus tôt et au plus tard.

En déduire le chemin critique et la durée minimale de réalisation du projet.
\item Pour des questions de gestion du personnel, la société de services et d'ingénierie informatiques
ne souhaite pas mobiliser plus de trois intervenants par jour. Peut-on planifier les tâches avec
cette contrainte sans modifier la durée totale du projet ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une association sportive souhaite recruter une personne pour animer son site internet et dynamiser
son image. Le candidat recruté devra remplir l'une au moins des quatre conditions suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item avoir des connaissances en informatique et être sous contrat avec la mairie ;
\item ne pas avoir de connaissances particulières en informatique, mais être membre de l'association
et être sous contrat avec la mairie ;
\item ne pas être membre de l'association mais être sous contrat avec la mairie ;
\item ne pas être sous contrat avec la mairie, mais être membre de l'association.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On définit les trois variables booléennes $a,\: b,$ et $c$ de la maniere suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $a = 1$ si la personne est membre de l'association et $a =  0$ sinon ;
\item $b = 1$ si la personne a des connaissances en informatique, et $b = 0$ sinon ;
\item $c = 1$ si la personne est en contrat avec la mairie, et $c = 0$ sinon.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire une expression booléenne $E$ traduisant globalement les  conditions de recrutement.
\item À l'aide d'un calcul booléen ou d'un tableau de Karnough, simplifier lexpression $E$ sous la
forme d'une somme de deux termes, puis interpréter cela à l'aide d'une phrase.
\item Un candidat ayant des connaissances en informatique se présente, mais il est écarté car il ne
correspond pas eux critères de recrutement.

Que peut-on en déduire sur le profil de ce candidat ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

On donne la matrice $A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix}$.

Le but de cet exercice est de décrire un procédé de codage d'un \emph{mot} de deux lettres (partie A) à l'aide de la matrice $A$ puis de détailler une méthode de décodage de ce \emph{mot} (partie C) en s'appuyant sur des résultats mathématiques établis dans la partie B.

\medskip

Un \emph{mot} de deux lettres est assimilé à  une  matrice colonne $X = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, où $x$ est le nombre correspondant à la première lettre du \emph{mot}, et $y$  le nombre correspondant à la deuxième lettre du \emph{mot},selon le tableau
de correspondance ci-après :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L	&M\\ \hline
0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
N	&O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U 	&V	&W	&X	&Y	&Z\\ \hline
13	&14	&15	&16	&17	&18	&19	&20	& 21&22	& 23&24	&25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Ainsi par exemple, le \emph{mot} \og  SI \fg{} est assimilé à la matrice $X = \begin{pmatrix}18\\8\end{pmatrix}$

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour coder le \emph{mot} assimilé à la  matrice $X = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ on calcule la matrice $U = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$ telle que  $AX = U$, 
puis la matrice $C = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$, où les nombres $c$ et $d$ sont les restes respectifs de la divislon euclidienne
par 26 des nombres $u$ et $v$. 

Le \emph{mot} codé en alors le \emph{mot} de deux lettres assimilé à la matrice $C = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$, selon le tableau de correspondance précédent, c'est-à-dire que $c$ et $d$ sont les deux lettres  du \emph{mot} codé.

Déterminer le \emph{mot} codé correspondant au \emph{mot} \og SI \fg.

\bigskip

\textbf{Partie B : deux résultats mathématiques}

\medskip

On considère les matrices $B = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix}$ et $I  = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier la congruence : $5 \times 21 \equiv 1\: \text{modulo}\: 26$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit matriciel $B \times  A$,  puis exprimer ce produit  en fonction de la matrice $I$.
		\item Soit $U = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ deux matrices quelconques à deux lignes et une colonne.
		
Justifier que si $A X = U$, alors $5 X = B U$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : décodage d'un \emph{mot}}

\medskip

On souhaite décoder le \emph{mot} \og BE \fg{} associé à la matrice $C = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$.

Si $X = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ est la matrice associée au \emph{mot} de départ; la matrice $U = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$ définie par l'égalité $AX = U$ a ses coefficients qui vérifient : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
u&\equiv &1\:\: \text{modulo}\:26\\
v&\equiv &4\:\: \text{modulo}\:26
\end{array}\right.$  d'après la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la question \textbf{B. 2.} démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
5x&=&2u - v\\5y&=&- 3u + 4v
\end{array}\right.$.

En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l}
5x&\equiv& - 2 \:\:\text{modulo}\: 26\\5y&\equiv&13 \:\:\text{modulo}\: 26
\end{array}\right.$.

\item En utilisant la question \textbf{B. 1} démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
x&\equiv& 10 \:\:\text{modulo}\: 26\\y&\equiv&13 \:\:\text{modulo}\: 26
\end{array}\right.$. puis décoder le \emph{mot} \og  BE \fg.
\end{enumerate}
\end{document}