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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Nouvelle-Calédonie novembre 2020~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item l'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.
\item l'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
\end{list}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

Pour constituer des groupes de travail en informatique dans une classe, un professeur définit trois variables booléennes $r$, $p$, $g$, de la façon suivante:

\begin{itemize}
\item $r = 1$ si le groupe comprend au maximum un élève redoublant, $r = 0$ sinon;
\item $p = 1$ si le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python, $p = 0$ sinon; 
\item $g = 1$ si le groupe ne comprend que des garçons, $g = 0$ sinon.
\end{itemize}

\medskip

\emph{Les deux questions suivantes sont à choix multiple. Pour chacune d'elles, recopier la seule bonne réponse. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les phrases suivantes, recopier celle qui traduit le fait que $r = 0$ :

\begin{itemize}
\item phrase A : \og le groupe comprend au minimum un élève redoublant\fg ; 
\item phrase B : \og le groupe ne comprend aucun élève redoublant\fg ;
\item phrase C : \og le groupe comprend au minimum deux élèves redoublants \fg.
\end{itemize}
\item Parmi les phrases suivantes, recopier celle qui traduit le fait que $p = 0$ :

\begin{itemize}
\item phrase A : \og le groupe comprend au plus un élève ayant déjà travaillé sur Python\fg{} ; 
\item phrase B : \og le groupe ne comprend aucun élève ayant déjà travaillé sur Python\fg{} ; 
\item phrase C : \og le groupe comprend au plus deux élèves ayant déjà travaillé sur Python \fg.
\end{itemize}
\item Le professeur impose à chaque groupe de respecter au moins une des contraintes suivantes:


\begin{itemize}[label=$\bullet$]
\item le groupe comprend au maximum un élève redoublant, et comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python, et ne comprend que des garçons,
ou 
\item le groupe comprend au moins un élève ayant déjà travaillé sur Python et comprend au moins une fille, ou
\item  le groupe comprend au maximum un élève redoublant, et ne comprend aucun élève ayant déjà travaillé sur Python.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une expression booléenne $E$ les contraintes imposées à chaque groupe.
		\item À l'aide d'un tableau de Karnaugh, déterminer une écriture simplifiée de $E $sous forme d'une somme de deux termes.
		\item Interpréter cette écriture simplifiée par une phrase.
	\end{enumerate}
\item Les redoublants de la classe s'estiment désavantagés; ils affirment : \og \emph{tous les groupes interdits contiennent au moins deux redoublants} \fg.

Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Un groupe d'étudiants de BTS a planifié la réalisation d'un jeu 
dans le cadre du projet de fin d'année.

Le tableau suivant regroupe l'ensemble des informations.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Tâche à réaliser &Repère&Durée en heures&Tâches précédentes\\ \hline
Cahier des charges &A& 4&\\ /hline
Recherches sur les interfaces graphiques &B&8&\\ \hline
Jeu en mode console& C&2&A\\ \hline
Page d'accueil &D&4&A, B\\ \hline
Interface graphique &E&12&A, B\\ \hline
Rapport &F&4&C, D, E\\ \hline
Extension (Jeu en réseau) &G&8&C, D\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère le graphe orienté correspondant aux conditions d'antériorité données par le tableau précédent. Les repères A, B, \ldots , G sont les sept sommets de ce graphe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le niveau de chacun des sommets du graphe.
\item Construire le tableau des successeurs du graphe.
\item Construire le graphe d'ordonnancement du projet (selon la méthode P. E. R. T. ou M. P. M.). 

Déterminer pour chaque tâche les dates au plus tôt et au plus tard.
\item Déterminer le chemin critique et la durée minimale de réalisation du projet.
\item Déterminer la marge totale des sommets A et C.
\item Justifier le fait que, si la tâche A prend un retard de 4 h et la tâche C prend un retard de 8 h, alors le projet prendra du retard par rapport à la durée minimale de réalisation prévue.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Une petite entreprise de la zone euro, créée le 1\up{er} janvier 2018, vend des ordinateurs destinés à des professionnels.

Les ordinateurs sont de trois types K, L et M. Le tableau suivant détaille les différents coûts, en euro, relatifs aux ordinateurs de chaque type, durant l'année 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Type d'ordinateur}}&\textbf{Type K}& \textbf{Type L}&\textbf{Type M}\\ \hline
Coût des éléments matériels&100& 150&250\\ \hline
Coût de la main d' œuvre&100 &150 &200\\ \hline
Coût de la livraison&50& 50& 50\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $A = \begin{pmatrix}100& 150 &250\\100& 150 &
200\\50&50& 50\end{pmatrix}$
la matrice correspondant au tableau précédent et $X = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ la matrice colonne correspondant à $x$ ordinateurs de type K, $y$ ordinateurs de type L et $z$ ordinateurs de type M vendus durant un mois de l'année 2018. 

Enfin, $Y = \begin{pmatrix}e\\m\\l\end{pmatrix}$ est la matrice colonne dont les trois
nombres $e$, $m$ et $l$ sont les coûts totaux respectifs, en euro, des éléments matériels, de la main d'œuvre et de la livraison de tous ces ordinateurs, durant ce même mois. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une égalité matricielle reliant les matrices $A$, $X$ et $Y$.
		\item Durant le mois de janvier 2018, l'entreprise a vendu $25$ ordinateurs de type K, $40$ ordinateurs de type L et $15$ ordinateurs de type M.
		
À l'aide du calcul matriciel, calculer le coût total des éléments matériels, celui de la main d'œuvre et celui de la livraison durant ce mois.	
	\end{enumerate}

\item \renewcommand\arraystretch{1.8}On considère la matrice 
$B = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}\\
-\dfrac{1}{25}&\dfrac{3}{50}&-\dfrac{1}{25}\\
\dfrac{1}{50}&-\dfrac{1}{50}&0
\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit matriciel $B \times A$.
		\item Démontrer que, si $A \times X =Y$, alors $X = B \times Y$.
		\item Durant le mois de février 2016, le coût total relatif à tous les ordinateurs vendus s'est élevé à \np{13500}~\euro{} pour les éléments matériels, \np{12350}~\euro{} pour la main d'œuvre et \np{4150}~\euro{} pour la livraison.
		
Déterminer le nombre d'ordinateurs de chaque type qui ont été vendus durant ce mois.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}