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%Merci à Sébastien Dibos pour le sujet et le source
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\begin{document}
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\rhead{\small{Session 2019}}
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\cfoot{\thepage}
\rfoot{}

\begin{center}
\textbf{
BTS SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS Nouvelle-Calédonie décembre 2019\\[5pt]
Mathématiques approfondies}
\end{center}

\bigskip

\begin{exercice}{10}\

\medskip

Une usine produit en série des verres optiques photochromiques. La production comporte 2 phases : la fabrication du verre puis l'application de la couche photosensible.

Les parties A et B sont indépendantes. Elles envisagent deux aspects de cette production.

\medskip

\textbf{Partie A : étude des défauts des verres}

\medskip

Une étude statistique indique que la première phase de fabrication occasionne un défaut $a$ dans 10~\% des cas et la seconde phase un défaut $b$ dans 8~\% des cas.

\doublespacing{%

On prélève au hasard un verre dans la production. On note :

$A$, l'évènement : \og le verre présente le défaut $a$ \fg,

$B$, l'évènement : \og le verre présente le défaut $b$ \fg,

$C$, l'évènement : \og le verre présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg,

$D$, l'évènement : \og le verre présente le défaut $a$ ou le défaut $b$ \fg,

$E$, l'évènement : \og le verre ne présente qu'un seul des deux défauts \fg.
}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On admet que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à : $P(C) = 0,006$.
	
	les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $P(D) = 0,174$.
		
		\item Calculer $P(E)$.
		
		\item Sachant que le verre présente au moins un défaut, calculer la probabilité qu'il ait un défaut de type $a$.
	\end{enumerate}
	
	\item On prélève au hasard successivement $n$ verres optiques dans le stock de l'entreprise. On suppose que le nombre de verres fabriqués est assez grand pour considérer les tirages indépendants et équiprobables. On admet que la probabilité qu'un verre, pris au hasard dans le stock, ne présente aucun défaut est égale à $0,826$.
	
	Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque prélèvement, de $n$ verres, le nombre de verres ne présentant aucun défaut. Justifier que la loi suivie par la variable aléatoire $X$ est binomiale.
	
	\item Dans cette question, on choisit $n = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $F$ : \og au moins 9 verres prélevés dans le stock n'ont aucun défaut \fg.
		
		\item Déterminer la probabilité qu'aucun verre du lot ne présente de défaut.
	\end{enumerate}
	\item Dans cette question, on choisit $n = 100$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance et l'écart type de la variable aléatoire $X$. Arrondir à $0,001$ près.
		
		\item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de la variable aléatoire $Y$ d'espérance $m = 82,6$ et d'écart type $\sigma = 3,8$.
		\begin{enumerate}
			\item Calculer la probabilité que dans le lot de $n = 100$ verres prélevés, il y ait entre 9 et 12 verres défectueux. Autrement dit, calculer $P\left(87,5 \leqslant Y \leqslant 91,5\right)$.
			
			\item Calculer la probabilité que dans ce lot de 100 verres, il y ait au moins 11 verres défectueux. Autrement dit, calculer $P\left(Y \leqslant 89,5\right)$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude du coefficient de transmission des verres}

\medskip

Les verres photochromiques s'assombrissent ou s'éclaircissent en fonction de la luminosité.

Dans cette partie, on étudie le coefficient de la transmission d'un verre minéral photochromique en fonction de la longueur d'onde de la lumière lors de la phase de transition entre l'état sombre et l'état clair.

Suite à une étude expérimentale, on a obtenu le tableau de valeurs ci-dessous, dans lequel $x$ correspond à la longueur d'onde en nanomètre (nm) et $y$ au coefficient de transmission, exprimé en pourcentage.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{$}X<{$\centering}|}}
	\hline
	Longueur d'onde en nanomètre (en nm) & 400 & 410 & 420 & 430 \\
	\hline
	Coefficient de transmission (en \%) & 4 & 25 & 55 & 85\\
	\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
	\item Donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindre carrés.
	
	\item Estimer alors le coefficient de transmission pour une longueur d'onde de 416~nm (arrondir à l'unité).
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{10}\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty} par : $f(x) = \dfrac{85}{1+0,9\e{-0,24x}}$.

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter le tableau suivant, dans lequel $f(x)$ sera arrondi au centième :
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{$}X<{$\centering}|}}
	\hline
	x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 & 16 \\
	\hline
	f(x) & & & & & & & & 82,42 & 82,96 & 83,39 \\
	\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item On rappelle que $\lim\limits_{X \to +\infty}\e{-X} = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
		
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
	
	\item On appelle $U$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty} qui, à tout $x$ de \intervFO{0}{+\infty}, associe $U(x) = 1 + 0,9\e{-0,24x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $U'(x) = -0,216\e{-0,24x}$
		
		\item En déduire que $f'(x) = \dfrac{18,36\e{-0,24x}}{\left(1+0,9\e{-0,24x}\right)^{2}}$.
	\end{enumerate}
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty}.
		
		\item Construire sur \textbf{une feuille de papier millimétré, à rendre avec la copie}, la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16}. On utilisera 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
	
	\item Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir une primitive $F$ de la fonction $f$, définie par l'expression
	\[F(x) = 354\ln \left(0,9 + \e{0,24x}\right).\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une valeur approchée de l'intégrale $\integrale{0}{16}{f(x)}{x}$ à l'unité près. 
		
Hachurer l'aire correspondante sur le graphique.
		
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16}, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse maintenant au taux d'équipement en micro-ordinateur des ménages français.

À partir d'une étude menée par l'INSEE sur ce sujet entre les années 2004 et 2016 on choisit de modéliser ce taux exprimé en pourcentage par l'expression $f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A de l'exercice et $x$ est le temps exprimé en année à partir du 1\up{er} janvier 2004.

Ainsi, par exemple, $f(1)$ était le taux d'équipement au 1\up{er} janvier 2005.

\begin{enumerate}
	\item Quel serait le taux d'équipement en micro-ordinateur exprimé en pourcentage prévu au 1\up{er} janvier 2020 ? Arrondir à l'unité.
	
	\item Donner en pourcentage une estimation, à long terme, du taux d'équipement en micro-ordinateur des ménages français.
	
	\item Donner en pourcentage une estimation du taux moyen d'équipement en micro-ordinateur des ménages français pour la période allant du 1\up{er} janvier 2004 au 1\up{er} janvier 2020 ; arrondir à l'unité.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{document}
\newpage
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
\begin{LARGE}
\begin{bfseries}
\textsc{Correction}
\end{bfseries}
\end{LARGE}
\end{center}

\bigskip

\begin{exercice}{10}\

\medskip

\textbf{Partie A : étude des défauts des verres}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Indépendance des évènements $A$ et $B$ :
	
	On sait que $A$ et $B$ sont indépendants si $P\left(A \cap B\right) = P(A) \times P(B)$.
	
	Or, d'après les données du problème, $P\left(A \cap B\right) = P(C)$ et $P(A) = 0,1$ et $P(B) = 0,0$. 
	
	On a $P(A) \times P(B) = 0,008 \neq P(C) = 0,006$. Donc les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Calcul de $P(D)$ :
		
		On a $P(D) = P\left(A \cup B\right)$. Donc :
		
		$P(D) = P(A) + P(B) - P\left(A \cap B\right) = 0,1 + 0,08 - 0,006 = \boxed{0,174}$
		
		\item Calcul de $P(E)$ :
		
		$E = \left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)$
		
		D'après la formule des probabilités totales :
		
		$P(A) = P\left(A \cap B\right) + P\left(A \cap \overline{B}\right) \iff P\left(A \cap \overline{B}\right) = P(A) - P\left(A \cap B\right) = 0,1 - 0,006 = 0,094$
		
		De même $P\left(\overline{A} \cap B\right) = 0,074$
		
		On a donc : $P(E) = 0,094 + 0,074 = \boxed{0,168}$
		
		\item , Probabilité que le verre ait un défaut de type $a$ sachant qu'il présente au moins un défaut :
		
		$P_{D}(A) = \dfrac{P\left(A \cap D\right)}{P(D)} = \dfrac{P(A)}{P(D)} = \dfrac{0,1}{0,174} = \boxed{\dfrac{50}{87} \approx 0,575}$
	\end{enumerate}
	
	\item Loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ :
	
L'expérience consiste à répéter $n$ fois de manière indépendante une même épreuve ayant deux issues possibles, le succès (le verre ne présente aucun défaut) avec la probabilité $p=0,826$ ou l'échec (le verre présente au moins un défaut) avec la probabilité $q=1-p=0,174$. On a donc un schéma de Bernoulli.
	
	La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, donc elle suit une loi binomiale.
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Paramètres de cette loi binomiale :
		
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,826$.
		
$\boxed{X \hookrightarrow \mathcal{B}\left(10~;~0,826\right)}$
		
		\item Probabilité de l'évènement $F$ :
		
$P(F) = P(X \geqslant 9) = P(X =9) + P(X=10) = \binom{10}{9} \times 0,826^{9}\times 0,174^{1} + \binom{10}{10} \times 0,826^{10} \times 0,174^{0} \approx \boxed{0,459}$
		
		\item Probabilité qu'aucun verre du lot ne présente de défaut :
		
$P(X = 10) = \binom{10}{10}\times 0,826^{10} \times 0,174^{0} \approx \boxed{0,148}$
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Espérance de la variable aléatoire $X$ :
		
$E(X) = n \times p = 100 \times 0,826 = \boxed{82,6}$
		
Écart type de la variable aléatoire $X$ :
		
$\sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1-p)} = \sqrt{100 \times 0,826 \times 0,174} \approx \boxed{3,791}$
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Probabilité que dans le lot de $n = 100$ verres prélevés, il y ait entre 9 et 12 verres défectueux :
			
À l'aide de la calculatrice on a :
			
$P\left(87,5 \leqslant Y \leqslant 91,5\right) = \boxed{0,089}$
			
La probabilité qu'il y ait entre 9 et 12 verres défectueux dans le lot est $0,089$.
			
			\item Probabilité que dans ce lot de 100 verres, il y ait au moins 11 verres défectueux :
			
À l'aide de la calculatrice, on a :
			
$P\left(Y \leqslant 89,5\right) = \boxed{0,965}$.
			
La probabilité qu'il y ait au moins 11 verres défectueux dans le lot est $0,965$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude du coefficient de transmission des verres}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ :
	
	$\boxed{y=2,73x-\np{1090,7}}$
	
	\item Coefficient de transmission pour une longueur d'onde de 416~nm :
	
	$y = 2,73 \times 416 - \np{1090,7} \approx \boxed{45}$
	
	Le coefficient de transmission pour une longueur d'onde de 416ñm est $45$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{10}\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
\end{enumerate}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{$}X<{$\centering}|}}
	\hline
	x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 & 16 \\
	\hline
	f(x) & 44,74 & 54,6 & 63.22 & 70.06 & 75.09 & 78.58 & 80.91 & 82,42 & 82,96 & 83,39 \\
	\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :
		
		$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{85}{1+0,9\e{-0,24x}}$
		
		$\lim\limits_{x \to +\infty}-0,24x = -\infty \implies \lim\limits_{x \to +\infty}\e{-0,24x} = 0 \implies \lim\limits_{x \to +\infty}1+0,9\e{-0,24x} = 1 \implies \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{85}{1+0,9\e{-0,24x}} = \boxed{85}$
		
		\item \emph{Interprétation graphique} :
		
Puisque $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 85$, la droite d'équation $y=85$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Détermination de $U'(x)$ :
		
		$U(x) = 1 + 0,9\e{-0,24x}$
		
		$U'(x) = 0 + 0,9 \times \left(-0,24 \times \e{-0,24x}\right) = \boxed{-0,216\e{-0,24x}}$
		
		\item Détermination de $f'(x)$ :
		
		$f'(x) = -\dfrac{85 \times \left(-0,216\e{-0,24x}\right)}{\left(1+0,9\e{-0,24x}\right)^{2}} = \boxed{\dfrac{18,36\e{-0,24x}}{\left(1+0,9\e{-0,24x}\right)^{2}}}$
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty} :
		
On étudie le signe de $f'(x)$ :
		
On sait que pour tout réel $x$, $\e{x} > 0$, donc $18,36\e{-0,24x} > 0$ sur \intervFO{0}{+\infty}. De plus, $\left(1+0,9\e{-0,24x}\right)^{2} > 0$ sur \intervFO{0}{+\infty}. Donc $f'(x)$ est strictement positif sur \intervFO{0}{+\infty}.
		
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}
		
		\item Représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16} :
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.085cm,algebraic=true,dotstyle=+, dotsize=2pt 0,linewidth=1.1pt,arrowsize=4pt 2,arrowinset=.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-5)(16.25,85)
\multido{\i=5+5}{16}{\psline[linewidth=0.8pt, linecolor=lightgray](0,\i)(17,\i)}
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\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Valeur approchée de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{16}{f(x)\d x}$ :
		
$\begin{array}{rcl}
\integrale{0}{16}{f(x)}{x} &=& \integrale{0}{16}{\dfrac{85}{1+0,9\e{-0,24x}}}{x} = F(16) - F(0)\\
	&=& 354\ln \left(0,9 + \e{0,24 \times 16}\right) - 354\ln \left(0,9 + \e{0,24 \times 0}\right)\\
	&=& 354 \left[\ln \left(0,9 + \e{3,84}\right) - \ln \left(0,9 + 1\right)\right]\\
	&=& 354\ln\left(\dfrac{0,9+\e{3,84}}{1,9}\right)\\
	&\approx& \boxed{\np{1139}}
\end{array}$	
		\item Valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16} :
		
		$\mu = \dfrac{1}{16-0}\integrale{0}{16}{f(x)}{x} = \dfrac{1}{16} \times 354\ln\left(\dfrac{0,9+\e{3,84}}{1,9}\right) \approx \boxed{71}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Taux d'équipement en micro-ordinateur exprimé en pourcentage prévu au 1\up{er} janvier 2020 :
	
Pour déterminer le taux d'équipement en micro-ordinateur au 1\up{er} janvier 2020 on doit calculer $f(16)$ puisque $\np{2020}-\np{2004} = 16$.
	
D'après la partie A, on a $f(16) \approx 83,39$. Donc le taux d'équipement en micro-ordinateur au 1\up{er} janvier est $83$~\%.
	
	\item Estimation, à long terme, du taux d'équipement en micro-ordinateur des ménages français :
	
Pour déterminer le taux d'équipement en micro-ordinateur à long terme on doit calculer $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$.
	
D'après la partie A, on a $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 85$. Donc le taux d'équipement en micro-ordinateur à long terme est $85$~\%.
	
	\item Estimation du taux moyen d'équipement en micro-ordinateur des ménages français pour la période allant du 1\up{er} janvier 2004 au 1\up{er} janvier 2020 :
	
Pour déterminer le taux moyen d'équipement en micro-ordinateur pour la période allant du 1\up{er} janvier 2004 au 1\up{er} janvier 2020 on doit calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16}.
	
D'après la partie A, on a $\mu \approx 71$. Donc le taux moyen d'équipement en micro-ordinateur pour la période allant du 1\up{er} janvier 2004 au 1\up{er} janvier 2020 est $71$~\%.
\end{enumerate}
\end{exercice}