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% Tapuscrit François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS SIO - Polynésie}
\lfoot{\small{Épreuve facultativee}}
\rfoot{\small juin 2018}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée de l'épreuve : 2 heures -- Coefficient 2}

\vspace{0,3cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Services Informatiques aux Organisations~\decofourright\\[5pt]
Épreuve facultative - Polynésie juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On installe un nouveau logiciel dans une entreprise. Un quart du personnel suit un stage de formation à son usage. Ainsi, la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans l'entreprise ait suivi le stage vaut: $p=0,25$.

On choisit au hasard $n$ personnes dans l'entreprise. On suppose l'effectif suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on choisit au hasard 10 personnes. Ainsi, $n=10$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, parmi les 10 personnes choisies, comptabilise les personnes ayant suivi le stage.

\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale, puis donner ses paramètres.
\item 
\begin{list}{}{Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants, en arrondissant au centième:}
\item A: \og parmi les 10 personnes choisies, 3 personnes exactement ont suivi le stage \fg{};
\item B: \og parmi les 10 personnes choisies, au moins une personne a suivi le stage \fg{}.  
\end{list}
\end{enumerate}

\item Dans cette question on prend $n=600$.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, parmi 600 personnes choisies, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage.

On admet que la variable $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=600$ et $p=0,25$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$. En donner une interprétation.
\item Déterminer l'écart type de la variable aléatoire $Y$. Arrondir le résultat au dixième.
\item On décide d'approcher la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne 150 et d'écart type $10,6$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant cette loi.

En utilisant cette approximation, calculer la probabilité qu'au plus 130 personnes choisies au hasard aient suivi le stage, en calculant $P(Z \leqslant 130,5)$. Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\item l'entreprise comprend 52\,\% de femmes. Le stage de formation a été suivi par 40\,\% du personnel féminin et par 15\,\% du personnel masculin.

\begin{list}{}{On choisit une personne au hasard et on définit les événements suivants:}
\item $F$: \og la personne choisie est une femme \fg{} ;
\item $S$: \og la personne choisie a suivi le stage \fg{}.
\end{list}

\parbox{0.65\linewidth}
{
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé en fonction des événements $F$ et $S$.
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.
\item Calculer la probabilité de l'événement: \og la personne choisie est une femme et a suivi le stage \fg{}.
\item Calculer $P(S)$.
\item Calculer $P_{S}(F)$, en arrondissant au centième.

Interpréter cette probabilité dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}
}
\hfill
\fbox{
\parbox{0.3\linewidth}{
  \psset{arrows=->,arrowsize=3pt 3}
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2cm,treesep=1cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$F$}\naput{$\ldots$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$\ldots$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\ldots$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{F}$}\nbput{$\ldots$}}
 	  {
 		  \TR{$S$}\naput{$\ldots$}
          \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\ldots$} 
     }
}
}}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip

\textbf{Partie A - Recherche d'un modèle fonctionnel}

\smallskip

Une entreprise réalise une étude de marché avant de commercialiser un logiciel à usage professionnel.

Des concurrents ont récemment vendu un produit similaire. Le nombre de logiciels vendus au cours de certains mois après la mise sur le marché est donné dans le tableau suivant.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Rang du mois: $x_i$ & 1 & 6 & 11 & 16 & 21 & 26 & 31 & 36 \\
\hline
Nombre de logiciels vendus: $z_i$ & 60 & 250 & 340  & 360 & 320 & 270 & 220 & 200 \\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Ainsi, par exemple, le 11\ieme{} mois après la mise sur le marché, 340 logiciels ont été vendus.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs au centième.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Rang du mois & 1 & 6 & 11 & 16 & 21 & 26 & 31 & 36 \\
\hline
$y_i = \ln\left ( \dfrac{z_i}{x_i}\right )$ \rule[-12pt]{0pt}{30pt} & $4,09$ & & & & & & & \\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une étude a permis de modéliser la dépendance entre $x$ et $z$ par l'égalité suivante:

\[\ln\left ( \dfrac{z}{x}\right ) = -0,07 x +4.\]

Cette relation permet d'exprimer $z$ en fonction de $s$, sous le forme d'une relation de dépendance de type $z=A x \e^{Bx}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que $A=54,6$ en arrondissant la valeur au dixième.
\item Donner la valeur de $B$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude d'une autre fonction modélisante}

\smallskip

L'équipe commerciale envisage de mettre sur le marché un logiciel analogue, mais plus complet que celui de ses concurrents. Pour ce nouveau logiciel, les prévisions permettent de modéliser le nombre mensuel des ventes par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\cd 0~;~36\cg$ par:

\[f(x)=100 x \e^{-0,1 x},\]

où $f(x)$ est le nombre de logiciels vendus au cours du mois de rang $x$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto \e^{-0,1x}$ sur l'intervalle $\cd 0~;~36\cg$.
\item En déduire la dérivée de la fonction $f$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $10-x$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur papier millimétré. On prendra 1~cm pour 2 unités sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\end{document}