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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{13 mai 2015}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier  13 mai 2015}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On veut traiter un patient par diffusion d'un produit actif dans l'humeur aqueuse de l'œil. Ce
produit est injecté dans le sang par voie intraveineuse. En raison de la barrière hématocamérulaire, les concentrations du produit dans le sang et dans l'humeur aqueuse
évoluent de manière différente.

L'objectif de cet exercice est de modéliser l'évolution de la concentration, d'abord dans le
sang, puis dans l'humeur aqueuse.

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\textbf{A. Modélisation de la concentration du produit dans le sang}

\medskip

On a injecté à l'instant $t = 0$ une certaine quantité de produit dans le sang du patient. On a
mesuré la concentration $C$ (en $\mu$g/L) du produit à différentes valeurs de $t$ (en heures).

Les valeurs obtenues sont entrées aux lignes 1 et 2 de la feuille de calcul suivante.

On pose $z = \ln (C)$ où ln désigne le logarithme népérien. Les valeurs de $z$, arrondies au
centième, sont affichées à la ligne 3.

On a représenté, sur deux graphiques, le nuage des points de coordonnées $(t~;~C)$ et le
nuage des points de coordonnées $(t~;~z)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.35cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
C17	&\multicolumn{6}{|l|}{=COEFFICIENT.CORRELATION(B1\negthinspace:F1\negthinspace;B2\negthinspace:F2)}\\ \hline
	&A						&B			&C		&D		&E		&F\\ \hline
1	&\scriptsize Temps $t$ (heures)		&1,5		&3		&4,5	&6		&9\\ \hline
2	&\scriptsize Concentration $C$ ($\mu$g/L)&13,7 	&9,4	&6,2	&4,5	&2,1\\ \hline
3	&\scriptsize $z = \ln (C)$			& 2,62		&2,24	&1,82	&1,50	&0,74\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.35cm}|X|X|}
4&\multirow{13}{*}{\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.26cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(10,18)
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,16)}
\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(10,16)
\psdots(1.5,13.7)(3,9.4)(4.5,6.2)(6,4.5)(9,2.1)
\uput[u](8,0){Temps $t$ (heures)}
\uput[r](0,17){Concentration C ($\mu$g/l)}
\end{pspicture}}&\multirow{13}{*}{
\psset{xunit=0.45cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,3.2)
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=1](0,0)(0,0)(10,3)
\psdots(1.5,2.62)(3,2.24)(4.5,1.82)(6,1.5)(9,0.74)
\uput[u](8,0){Temps $t$ (heures)}
\uput[r](0,3.1){$z = \ln (C)$}\end{pspicture}}\\ \cline{1-1}
5	&&\\ \cline{1-1}
6	&&\\ \cline{1-1}
7	&&\\ \cline{1-1}
8	&&\\ \cline{1-1}
9	&&\\ \cline{1-1}
10	&&\\ \cline{1-1}
11	&&\\ \cline{1-1}
12	&&\\ \cline{1-1}
13	&&\\ \cline{1-1}
14	&&\\ \cline{1-1}
15	&&\\ \cline{1-1}
16	&&\\ \hline
17	&\multicolumn{2}{|l|}{Coefficient de corrélation $(t~;~C)$ : $\np{- 0,9560}$}\\ \hline
18	&\multicolumn{2}{|l|}{Coefficient de corrélation $(t~;~z)$ : $\np{- 0,9996}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des graphiques et sans calcul, expliquer pourquoi un ajustement affine de $z$ en
$t$ semble mieux approprié qu'un ajustement affine de $C$ en $t$.
		\item On a calculé en cellule C17 le coefficient de corrélation linéaire de l'ajustement affine de $C$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés et en cellule C18 celui de l'ajustement de $z$ en $t$. En quoi ces calculs confirment-ils la réponse précédente ?
	\end{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = a t + b$. Arrondir $a$ et $b$ au millième.
\item En déduire une expression de $C$ en fonction de $t$ de la forme $C = C_0 \text{e}^{at}$, où $C_0$ est à arrondir à l'unité.
	
Comment peut-on interpréter, dans le contexte, le coefficient $C_0$ ?
\item Selon le modèle précédent, au bout de combien de temps la concentration du produit
sera-t-elle inférieure à 1,5 $\mu$g/L ? Arrondir à la minute.
	
Expliquer la démarche utilisée pour répondre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Modélisation de la concentration dans l'humeur aqueuse}

\medskip

On admet que la fonction correspondant à la concentration du produit dans l'humeur
aqueuse (en $\mu$g/L) en fonction du temps $t$ (en heures), vérifie l'équation différentielle $(E)$ :

\[y' + 0,05 y = 0,05 g(t),\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, $y'$ sa fonction dérivée et $g(t)$ la concentration du produit dans le sang (en $\mu$g/L) à l'instant $t$.

On suppose que : $g(t) = 20 \text{e}^{-0,25 t}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ :

\[y' + 0,05 y = 0.\]

On fournit la formule suivante.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Equation différentielle& Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$a y' + b y = 0$&$y(t) = k \text{e}^{- \frac{b}{a}t}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est correcte.
Recopier sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.
La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

La fonction $h$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(t) = \lambda \text{e}^{- 0,25 t}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ pour $\lambda$ valant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$-5$& $- 100$& $20$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Exploitation du modèle précédent}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la concentration du produit dans l'humeur aqueuse (en
$\mu$g/L), en fonction du temps $t$ (en heures) est modélisée par :

\[f(t) = 5\text{e}^{- 0,05 t} - 5 \text{e}^{- 0,25t}.\]

\emph{Pour les questions suivantes, toute démarche pertinente sera prise en compte.\\
On peut éventuellement s'appuyer sur les résultats suivants obtenus à l'aide d'un logiciel.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Algèbre &  Graphique\\ \hline
\end{tabularx}
\parbox{.48\linewidth}{Droite

$\bullet~~$ $a$ : $y = 2$

Fonction

$\bullet~~$ $f(t) = 5 \text{e}^{-0,05*t} - 5\text{e}^{-0,25*t}$

 $(0 \leqslant  t \leqslant 100)$

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabular}{|p{0.3cm}|>{\footnotesize}m{5cm}|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Calcul formel -- 0L15.ggb}\\ \hline
1&\multirow{2}{5cm}{$5*\text{exp}(-0,05*t) - 5*\text{exp}(-0,25*t)$}\\
&Dérivée : $\dfrac{5}{4}\text{e}^{- \frac{1}{4}t} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{- \frac{1}{20}t}$\\ \hline
2&\multirow{2}{5cm}{$-0,25*\text{exp}(-0,05*t)*(1 - 5*\text{exp}(-0,2*t))$}\\
&Développer : $\dfrac{5}{4}\text{e}^{- \frac{t}{25}}\text{e}^{-\frac{1}{5}} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{- \frac{1}{20}t}$\\ \hline
3&\multirow{2}{5cm}{$t/20 - t/5$}\\
&$\to - \dfrac{1}{4}t$\\ \hline
4&\multirow{2}{5cm}{$5*\text{exp}(-0,05*t)-5*\text{exp}(-0,25*t)$}\\
&intégrale $20\text{e}^{- \frac{1}{4}t} - 100\text{e}^{- \frac{1}{20}t} + c_2$\\ \hline
\end{tabular}} \hfill
\parbox{.48\linewidth}{\psset{xunit=0.25cm,yunit=1cm}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\begin{pspicture*}(-2,-3.5)(21,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8](0,-3.5)(21,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-3.5)(21.1,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(21.1,4.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{21}{5 2.71828 0.05 x mul exp div 5 2.71828 0.25 x mul exp div sub}
\rput(1.5,0.85){\blue $f$}
\end{pspicture*}}
\renewcommand\arraystretch{1}
\medskip

Dans la fenêtre de calcul formel, la commande 1 correspond au calcul de la dérivée de $f$, les commandes 2 et 3 permettent de vérifier une factorisation de $f'(t)$ et la commande 4 fournit
une primitive de $f$. Ces résultats sont admis et n'ont pas à être justifiés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la concentration moyenne $m = \dfrac{1}{12}\displaystyle\int_0^{12} f(t)\:\text{d}t$ du produit dans l'humeur aqueuse sur l'intervalle de temps [0~;~12].
 \item Quelle est la concentration maximale dans l'humeur aqueuse et au bout de combien de temps est-elle atteinte ? Justifier la réponse en précisant la démarche.
\item Peut-on dire que la concentration du produit dans l'humeur aqueuse reste supérieure à $2~\mu$g/L pendant au moins 10 heures ? Justifier la réponse en précisant la démarche.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf mention du contraire,
à arrondir à $10^{-3}$.

La vertéporfine est un médicament utilisé pour soigner une certaine forme de
dégénérescence maculaire liée à l'âge (D. M. L. A.).

Pour étudier l'efficacité de la vertéporfine pour soigner cette forme de D. M. L. A., une étude a
été réalisée auprès de 240~patients atteints de D. M. L. A et âgés de plus de 50 ans.

Lors de cette étude, les patients ont été répartis en deux groupes constitués au hasard:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 160 patients ont reçu un traitement à base de vertéporfine ;
\item 80 patients ont reçu un placebo.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Après un an de traitement, les patients ont été examinés pour déterminer s'ils avaient perdu
moins de trois lignes d'acuité visuelle sur l'échelle E. T. D. R. S. par rapport à leur vision de
départ. Un tel patient est nommé \og répondeur \fg. Le tableau suivant indique pour chaque
groupe le nombre de répondeurs.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Groupe				& Traitement à base de vertéporfine	& Placebo\\ \hline
Nombre de répondeurs& 108								& 36\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

On tire au hasard une fiche parmi celles des 240 patients concernés par l'étude.

On désigne par $V$ l'évènement \og la fiche tirée est celle d'un patient ayant reçu le traitement à
base de vertéporfine \fg.

On désigne par $R$ l'évènement \og la fiche tirée est celle d'un répondeur \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités ou un tableau correspondant à la situation.
\item Calculer $P(R \cap V)$.
\item Montrer, par un calcul, que $P(R) = 0,6$.
\item Sachant que la fiche tirée est celle d'un répondeur, quelle est la probabilité que ce patient
ait reçu un traitement à base de vertéporfine ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

Dans cette partie, on s'interroge sur la probabilité d'observer au moins 108~répondeurs sur
un échantillon aléatoire de taille~160 issu d'une population où la proportion des répondeurs
est $0,6$.

On tire au hasard et avec remise 160~fiches parmi celles des 240~patients concernés par
l'étude. On suppose que la probabilité qu'une fiche tirée soit celle d'un répondeur est $p = 0,6$.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi décrit, associe le nombre
de fiches correspondant à des répondeurs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer l'espérance de $X$ et en donner une interprétation.
\item À l'aide de la calculatrice,
	\begin{enumerate}
		\item donner la probabilité qu'il y ait exactement 96~répondeurs parmi les 160~fiches
prélevées;
		\item calculer $P(X \geqslant 108)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Loi normale et test d'hypothèse}

\medskip

Dans cette partie, on cherche à déterminer s'il existe une différence significative entre les
proportions de répondeurs parmi les patients traités par vertéporfine et ceux ayant reçu un
placebo.

On note $F_1$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 160~patients traités par
vertéporfine, associe la fréquence des répondeurs. On suppose que $F_1$ suit la loi normale de
moyenne $p_1$ inconnue et d'écart type $\sigma_1 = \sqrt{\dfrac{p_1\left(1 - p_1\right)}{160}}$.

On note $F_2$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 80~patients ayant reçu un
placebo, associe la fréquence des répondeurs. On suppose que $F_2$ suit la loi normale de
moyenne $p_2$ inconnue et d'écart type $\sigma_2 = \sqrt{\dfrac{p_2\left(1 - p_2\right)}{80}}$.

On note $D$ la variable aléatoire définie par $D = F_1 - F_2$.

L'hypothèse nulle est $H_0 : p_1 = p_2$.

L'hypothèse alternative est $H_1 : p_1 \ne p_2$.

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

On admet que sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $D$ suit la loi normale de moyenne $0$
et d'écart type $\sqrt{\dfrac{0,6 \times 0,4}{160} + \dfrac{0,6 \times 0,4}{80}} \approx 0,067$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$, déterminer, en utilisant la propriété ci-dessous, un réel positif $h$
tel que $P(- h \leqslant D  \leqslant h) = 0,95$.

\medskip

\emph{Propriété de la loi normale : si $X$ est une variable aléatoire de loi normale de moyenne $\mu$ et
d'écart type }\:$\sigma$, $P(\mu - 2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2 \sigma) \approx 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Sur un échantillon aléatoire de 160~patients traités par vertéporfine, on a observé 108~répondeurs. 

Sur un échantillon aléatoire de 80~patients ayant reçu un placebo, on a
observé 36~répondeurs.

Peut-on, au seuil de signification de 5\,\%, rejeter l'hypothèse $H_0$ ?
\end{enumerate}
\end{document}