%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Opticien--lunetier}, pdftitle = {2013}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{14 mai 2013}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Opticien--lunetier 14 mai 2013} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Avant une greffe de cornée, la cornée prélevée est plongée dans un liquide physiologique afin de provoquer l'évacuation du surplus d'eau contenu dans le tissu. On étudie l'évolution dans le temps de l'épaisseur de la cornée. \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center} \textbf{A. Statistique à deux variables} \medskip Une étude expérimentale de l'épaisseur $y$ de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du temps $t$, exprimé en heures, a permis d'obtenir le tableau suivant. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline $t$&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $y$&983 &786&700,64 &662,08 &645,22 &637,83 &634,57 &633,13 &632,5 &632,22 &632,1\\ \hline \end{tabularx} \medskip Le nuage des points de coordonnées $(t~;~y)$ correspondant est représenté sur le graphique suivant. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-2,-200)(10,1000) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1000)} \multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100](0,0)(10,1000) \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,983,)(1,786)(2,700.64)(3,662.08)(4,645.22)(5,637.83)(6,634.57)(7,633.13)(8,632.5)(9,632.22)(10,632.1) \rput(5,-150){Temps en heures} \rput{90}(500,-1.5){Épaisseur en $\mu$m}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique et sans calcul, expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est pas approprié. \item On pose $z = \ln (y - 632)$ et on obtient le tableau suivant, où les valeurs approchées sont arrondies à $10^{- 2}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline $t$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline $z$&5,86&5,04&4,23&3,4&2,58&1,76&0,94&0,12&$- 0,69$&$- 1,51$&$- 2,3$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = at + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$. (Pour cette question, on utilisera les fonctions de la calculatrice. Le détail des calculs n'est pas demandé). \item En déduire une expression de $y$ en fonction de $t$, selon cet ajustement. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(E)\: :\quad 1,22 y' + y = 632\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, et $'y$, la fonction dérivée de $y$. On admet que la fonction correspondant à l'épaisseur de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du temps, exprimé en heures, vérifie l'équation différentielle $(E)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle \[\left(E_{0}\right)\: :\quad 1,22y' + y = 0. \] \item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 632$. Vérifier que $g$ est une solution de $(E)$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 983$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(t) = 632 + 351 \text{e}^{- 0,82 t}.\] On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \emph{Les questions a., b. et c. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \begin{enumerate} \item~ \medskip \renewcommand\arraystretch{1} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$&$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 351$&$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 632$&$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = + \infty$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item La courbe $C$ admet une asymptote dont une équation est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline $t = 632$&$y = 632$&$t = 0$&$y = 0$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline $y = - 0,82 t + 632$& $y = 983 t - 287,82$ &$y = - 287,82 t + 983$& $y = 632t - 0,82$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \medskip Une entreprise fabrique des verres ophtalmiques à partir de verres semi-finis. \bigskip \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip Ce fabriquant possède un stock de verres semi-finis provenant de deux fournisseurs différents, désignés par \og fournisseur 1 \fg{} et \og fournisseur 2 \fg. On admet que 60\,\% des verres semi-finis proviennent du fournisseur 1 et 40\,\% des verres semi-finis proviennent du fournisseur 2. On admet que 2\,\% des verres semi-finis du fournisseur 1 sont défectueux et que 1\,\% des verres semi-finis du fournisseur 2 sont défectueux. On prélève au hasard un verre semi-fini dans ce stock. On considère les évènements suivants : $A$ : \og le verre semi-fini prélevé provient du fournisseur 1 \fg ; $B$ : \og le verre semi-fini prélevé provient du fournisseur 2 \fg ; $D$ : \og le verre semi-fini prélevé est défectueux \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(B \cap D)$. \item Montrer que la probabilité que le verre semi-fini prélevé soit défectueux est égale à $0,016$. \item Calculer la probabilité conditionnelle $P_{D}(B)$. (On rappelle que $P_{D}(B)$ est la probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $D$ est réalisé.) \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Loi binomiale, loi de Poisson et loi normale} \medskip Sauf mention du contraire, dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{- 3}$. \medskip On prélève au hasard $n$ verres semi-finis dans un stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu'un verre semi-fini prélevé au hasard dans ce stock soit défectueux est égale à $0,016$. Le stock est suffisamment important pour assimiler un prélèvement de $n$ verres semi-finis à un tirage avec remise de $n$ verres. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $n$ verres semi-finis dans ce stock, associe le nombre de verres semi-finis défectueux. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. \item Dans cette question $n = 250$. \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat. \item Calculer la probabilité qu'aucun verre ne soit défectueux. \item En déduire la probabilité qu'au moins un verre soit défectueux. \item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre obtenu au d. Calculer, avec la précision permise par la table du formulaire, $P(Y \geqslant 1)$. \end{enumerate} \item Dans cette question $n = \np{1000}$. On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $3,97$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier ces paramètres par le calcul. \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $3,97$. Pour déterminer, à l'aide de cette variable aléatoire, la probabilité que, dans un prélèvement de \np{1000}~verres semi-finis, il y ait au moins $18$ verres défectueux, on calcule $P(Z \geqslant 17,5)$. La valeur approchée obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,35 &0,38 &0,65\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Intervalle de confiance} \medskip Ce fabriquant effectue un sondage auprès de ses clients opticiens. Il souhaite évaluer la proportion inconnue $p$ de clients intéressés par un nouveau verre. Pour cela, il interroge au hasard un échantillon de $100$~opticiens parmi sa clientèle. Cette clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage avec remise. Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des opticiens intéressés par ce nouveau verre. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$. Pour l'échantillon prélevé, on constate que $70$ opticiens sont intéressés par le nouveau verre. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$. \item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le coefficient de confiance $95$\,\%. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$. \item Peut-on affirmer que $p$ est compris dans cet intervalle de confiance ? Pourquoi ? \end{enumerate} \end{document}