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%Tapuscrit : Ronan Charpentier
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{16 mai 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]16 mai 2025}  
\end{center}

\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og   type collège \fg{} est autorisé.}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip


Une usine produit des montures de lunettes et les vend à des opticiens.

\textit{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\subsection*{Partie A. Statistique}

On étudie la relation entre le prix de vente d'une monture et la recette de l'usine.

Une enquête a permis d'obtenir le résultat suivant.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$x$&&&&&&\\
Prix de vente d'une monture, en euros & 5 & 5,50 & 6 & 6,50 & 7 & 7,50 \\\hline
$y$&&&&&&\\
Recette de l'usine, en milliers d'euros & 17,72 & 18,21 & 18,74 & 19,12 & 19,35 & 19,85 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ainsi, lorsque le prix de vente d'une monture est égal à 5 euros, la recette de l'usine est égale à 17,72 milliers d'euros, soit 17 720 euros.

\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x,y)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.

\item Expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $x$ est justifié.

\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite de régression linéaire de $y$ en $x$, selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$.

Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-1}$.

\item Selon ce modèle, quelle est la recette de l'usine, lorsque le prix de vente d'une monture est égal à 10 euros ? Arrondir à l'euro près.

\item Une étude montre que, lorsque le prix de vente d'une monture est égal à 10 euros, la recette de l'usine est, en réalité, égale à 19 950 euros.

Lorsque l'écart entre la valeur donnée par un modèle statistique et la valeur réelle est inférieur à 5 \%, on dit que le modèle est fiable.

Le modèle étudié ici est-il fiable ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B. Équation différentielle}

On considère l'équation différentielle :

\[(E) : y' + 0,1y = 5\text{e}^{-0,1x},\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et où $y'$ est sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle

\[(E_0) : y' + 0,1y = 0.\]

On fournit la formule suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\phantom{xxx}Équation différentielle\phantom{xxx} & \phantom{xxx}Solutions sur un intervalle $I$\phantom{xxx} \\
\hline
\rule[-5pt]{0pt}{20pt}$ay' + by = 0$ & $f(t) = k\text{e}^{-\frac{b}{a}t}, \quad k \in \mathbb{R}$. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par :

\[g(x) = 5x\text{e}^{-0,1x}.\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item[a.] Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

On fournit les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\phantom{xxx}Fonction\phantom{xxx} &\phantom{xxx} Dérivée\phantom{xxx} \\
\hline
\rule[-4pt]{0pt}{16pt}$uv$ & $u'v + uv'$ \\
\hline
\rule[-4pt]{0pt}{16pt}$x \mapsto \text{e}^{Ax}$ & $x \mapsto A\text{e}^{Ax}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item[b.] En déduire que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item[a.] En déduire que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $h$ définies pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; +\infty[$, par :

\[h(x) = (5x + k)\text{e}^{-0,1x}, \quad \text{où } k \text{ est une constante réelle}.\]

\item[b.] Déterminer, à $10^{-2}$ près, la valeur de la constante $k$ pour que la fonction $h$ ci-dessus vérifie :

\[h(5) = 17,72.\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie C. Étude de fonction}

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[5~;~15]$ par :

\[f(x) = (5x + 4,22)\text{e}^{-0,1x}.\]

On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère 

orthogonal.

\medskip

\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.4]
\draw(-0.25,0)--(15.25,0);
\draw(0,-0.5)--(0,20.5);
\draw(0,0)node[below left]{$0$};
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} \draw(\x,0.1)--(\x,-0.1)node[below]{\tiny \x};
\foreach \y in {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} \draw(0.1,\y)--(-0.1,\y)node[left]{\tiny \y};
\draw[line width=2pt]plot[domain=5:15,samples=200,smooth](\x,{(5*\x+4.22)*2.71828^(-\x/10)});
\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs approchées à $10^{-2}$ de $f(5)$ et $f(15)$.

\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[5~;~15]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[5~;~15]$ on a :

\[f'(x) = (4,578 - 0,5x)\text{e}^{-0,1x}.\]

\begin{enumerate}
\item[a.] Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[5~;~15]$.

\item[b.] Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ de $f(9,156)$.

\item[c.] En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[5~;~15]$.
\end{enumerate}

\item On suppose que la fonction $f$ modélise la recette de l'entreprise en fonction du prix de vente d'une monture. Ainsi, lorsque le prix de vente d'une monture, en euros, est égal à $x$, la recette de l'usine, en milliers d'euros, est égale à $f(x)$.

Quel doit-être le prix de vente d'une monture pour que la recette soit maximale ? 

À combien s'élève alors la recette ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip


\textit{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}


\subsection*{Partie A. Probabilités conditionnelles}

Une machine contrôle des montures de lunettes.
Cette machine commet des erreurs : il arrive que des montures conformes soient REFUSÉES, et que des montures non conformes soient ACCEPTÉES.

On dispose des informations suivantes :

\begin{itemize}
\item 90 \% des montures sont conformes.
Parmi elles, 5 \% sont REFUSÉES.

\item 10 \% des montures sont non conformes.
Parmi elles, 97 \% sont REFUSÉES.
\end{itemize}

On prélève au hasard une monture et on considère les évènements :

\begin{itemize}
\item $C$ : la monture est conforme.
\item $R$ : la monture est refusée.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node at (1.5,0.8) {0,9};
\node at (3.5,1) {C};
\node at (3.5,-1) {$\overline{C}$};
\draw (3,-1)--(0,0)--(3,1);
\node at (7.5,1.5) {R};
\node at (7.5,0.5) {$\overline{R}$};
\draw (4,1) -- (7,1.5);
\draw (4,1) -- (7,.5);
\node at (5.5,0.45) {0,95};
\node at (7.5,-0.5) {R};
\node at (7.5,-1.5) {$\overline{R}$};
\draw (7,-.5) -- (4,-1)-- (7,-1.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Déterminer la probabilité que la monture soit conforme et refusée.

\item Montrer que la probabilité que la monture soit refusée est égale à 0,142.

\item Un technicien affirme : « Parmi les montures refusées, plus du quart sont conformes ».
A-t-il raison ? Justifier.

\item Quelle est la probabilité que la machine commette une erreur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B. Loi binomiale et loi normale}

On considère un grand stock de montures de lunettes. On sait que la proportion de montures ayant été refusées au contrôle de conformité est égale à 0,142.

On prélève au hasard un échantillon de 1000 montures.

On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de montures qui, au sein de l'échantillon de 1000 montures, ont été refusées au contrôle de conformité.

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. 

Donner ses paramètres.

\item Déterminer la probabilité qu'au plus 12 \% des montures de l'échantillon aient été refusées. Arrondir à $10^{-3}$.

\item On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale, ayant pour moyenne $m = 142$ et pour écart-type $\sigma = 11$. 

Justifier les valeurs de $m$ et $\sigma$.

\item On a représenté ci-dessous la densité de la loi normale de moyenne $m = 142$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.6]

\draw(-3.5,0)--(3.5,0);
\draw[line width=1]plot[smooth,samples=500,domain=-3.5:3.5](\x,{2*exp(-\x*\x/2)});

\draw(-2,0.1)--(-2,-0.1)node[below]{\small $a$};
\draw(0,0.1)--(0,-0.1)node[below]{\small $b$};
\draw(2,0.1)--(2,-0.1)node[below]{\small $c$};

\draw[fill=gray!30](-2,0)--plot[smooth,samples=500,domain=-2:2](\x,{2*exp(-\x*\x/2)})--(2,0)--cycle;
\draw(0,0.7)node{$p=0,95$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textit{La zone grisée est disposée symétriquement par rapport à l'axe de symétrie de la courbe. Elle représente une probabilité égale à 0,95.}

Donner une valeur approchée du réel $b$ puis des réels $a$ et $c$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie C. Test d'hypothèse}

Une usine possède un grand stock de vis destinées à l'assemblage des montures. La longueur des vis doit être égale à 3mm. Afin de contrôler cette longueur, on prélève un échantillon aléatoire de 400 vis et on réalise un test bilatéral au seuil de signification de 5 \%.

\subsubsection*{Notations :}
\begin{itemize}
\item $L$ désigne la variable aléatoire qui donne la longueur (en millimètres) d'une vis prise au hasard dans le stock. Cette variable aléatoire suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type 0,1.

\item $\overline{L}$ désigne la variable aléatoire qui donne la moyenne des longueurs (en millimètres) des vis d'un échantillon aléatoire de 400 vis.
\end{itemize}

\subsubsection*{Hypothèses :}
\begin{itemize}
\item L'hypothèse nulle est $H_0 : \mu = 3$.
\item L'hypothèse alternative est $H_1 : \mu \neq 3$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On se place sous l'hypothèse nulle.
On admet que, sous cette hypothèse, la variable aléatoire $\overline{L}$ suit une loi normale de moyenne 3 et d'écart-type $\frac{0,1}{\sqrt{400}}$.


Déterminer le réel positif $h$ vérifiant $P(3 - h < \overline{L} < 3 + h) = 0,95$. Arrondir à $10^{-2}$.

\item Énoncer la règle de décision du test.

\item On prélève un échantillon aléatoire de 400 vis. Les longueurs de ces vis figurent dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Longueur (en mm) & 2,98 & 2,99 & 3,00 & 3,01 & 3,02 \\
\hline
Effectif & 48 & 92 & 240 & 18 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item[a.] Quelle est la longueur moyenne des vis de cet échantillon ?

\item[b.] Conclure en appliquant la règle de décision.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}