%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : Ronan Charpentier \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier}, pdftitle = {9 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{9 mai 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier 9 mai 2017} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Une usine fabrique des montures de lunettes en acétate. Lors d'une étape de la fabrication, les montures sont chauffées à 75 \degres C pour prendre la forme voulue puis on les laisse refroidir à l'air ambiant. On étudie dans cet exercice l'évolution de la température de la monture en acétate en fonction du temps lors du refroidissement. Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. \bigskip \textbf{A. Étude expérimentale du refroidissement} \medskip Lors du refroidissement, on a mesuré la température des montures toutes les 5 minutes pendant 25 minutes. On a obtenu le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps $t$ (minutes) &0 &5 &10 &15 &20 &25\\ \hline Température des montures $T$ (degrés Celsius) &75 &45 &31 &26 &23 &21\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Représentation de la série $(t~;~T)$ : \begin{center} \psset{xunit=0.25cm,yunit=.08cm} \begin{pspicture}(-3,-10)(30,80) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,80)} \multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(30,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(30,80) \uput[d](15,-5){Temps $t$ en minutes} \rput{90}(-3.5,40){Température $T$ en \degres C} \psdots(0,75)(5,45)(10,31)(15,26)(20,23)(25,21) \end{pspicture} \end{center} Le coefficient de corrélation linéaire de la série $(t~;~T)$ est $r_1 \approx - 0,886$. L'allure de la série conduit à procéder à un changement de variable, en posant : \[z = \ln (T - 20).\] On obtient le tableau de valeurs suivant (les résultats ont été arrondis à $10^{-3}$). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps $t$ (minutes) &0 &5 &10 &15 &20 & 25\\ \hline $z = \ln (T - 20)$ &4,007 &3,219 &2,398 &1,792 &1,099 &0\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Le coefficient de corrélation linéaire de cette nouvelle série $(t~;~z)$ est $r_2 \approx - 0,997$. Expliquer pourquoi le changement de variable est pertinent. \item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = at + b$, où $a$ et $b$ sont arrondis au centième. \item En déduire une expression de $T$ en fonction de $t$ de la forme $T = 20 + C_0 \text{e}^{at}$, où $C_0$ est à arrondir à l'unité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude théorique du refroidissement à l'aide d'une équation différentielle} \medskip La loi de refroidissement de Newton s'énonce ainsi: \og la vitesse de refroidissement d'un corps chaud inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant \fg. Dans un atelier de l'usine où la température ambiante est 20\degres C, on admet qu'en appliquant la loi de Newton, la fonction correspondant à la température (en \degres C) de la monture en acétate en fonction du temps $t$ (en min) vérifie l'équation différentielle \[(E) :\quad y' = - 0,15(y - 20),\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, et $y'$, sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $(E)$ s'écrit aussi : \[y' + 0,15y = 3.\] \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle \[\left(E_0\right) : \quad y' + 0,15 y = 0.\] On fournit la formule suivante : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline $ay' + by = 0$&$f(t) = k \text{e}^{- \frac{b}{a}t}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Déterminer le nombre réel $c$ tel que la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = c$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Dans un atelier de l'usine où la température ambiante est 20\degres C, une monture en acétate est chauffée à 75\degres C. À l'instant $t = 0$, elle est sortie du four et laissée à l'air ambiant pour refroidir. Déterminer, dans ce cas, la fonction $f$ donnant la température (en \degres C) de !a monture en fonction du temps $t$ (en min). \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Exploitation du modèle précédent} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(t) = 20 + 55 \text{e}^{- 0,15 t}.\] On admet que $f$ correspond à la température (en \degres C) de la monture en acétate en fonction du temps $t$ (en min). Un tableau de valeurs de $f(t)$, arrondies au dixième, est donné ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &5 &10 &15 &20 &25 &30 &35 &40\\ \hline $f(t) \approx$ &75 &46,0 &32,3 &25,8 &22,7 &21,3 &20,6 &20,3 &20,1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Un logiciel fournit ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ dans un repère, ainsi que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse zéro. \begin{center} \psset{xunit=0.28cm,yunit=0.076cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(40,82) \multido{\n=0+1}{41}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,82)} \multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(40,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10](0,,0)(0,0)(40,82) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{40}{55 2.71828 0.15 x mul exp div 20 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{75 25 x mul 3 div sub} \uput[u](38.5,20){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner la température de la monture au bout de 15 minutes (au \degres C près). \item \begin{enumerate} \item Déterminer une expression de $f'(t)$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de zéro. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|} \multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline &PolylnômeTaylor[20+55*exp($-$0.15*t), t,0, 2]\\ \hline 1&$\to 75 - \dfrac{33}{4} t + \dfrac{99}{160} t^2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est correcte.\\ Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \smallskip Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse zéro est \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $y= 75$& $y = 75 - \dfrac{33}{4}t$&\footnotesize $y = 75 - \dfrac{33}{4}t + \dfrac{99}{160}t^2$&$y = 75 t - \dfrac{33}{4}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item L'objectif de cette question est de déterminer à partir de quel instant la température de la monture en acétate est inférieure à 24 \degres C. On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline \emph{Initialisation}\\ $t$ prend la valeur 15\\ \emph{Traitement}\\ Tant que $f(t) > 24$\\ \hspace{1.2cm}$t$ prend la valeur $t + 1$\\ Fin de Tant que\\ \emph{Sortie}\\ Afficher $t$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Faire tourner cet algorithme \og à la main\fg{} en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Étapes& Valeurs de $t$& Valeurs de $f(t)$& Condition $f (t) > 24$& Affichage\\ \hline étape 1& 15 &\small $f(15) \approx 25,8$& VRAIE &aucun\\ \hline étape 2& 16 &\small $f(16)\approx 25,0$& VRAIE& aucun\\ \hline étape 3& 17&&&\\ \hline &&&&\\ \hline &&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item À partir de quel instant $t_0$, arrondi à la minute, la température de la monture est-elle inférieure à 24 \degres C ? \item Proposer une modification de l'algorithme précédent afin qu'il permette d'obtenir une valeur approchée de ta arrondie au dixième. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Une entreprise fabrique des lentilles de contact. \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf mention du contraire, à arrondir à }\boldmath$10^{-3}$\unboldmath \end{center} \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip L'entreprise fabrique des lentilles de contact rigides et souples. Chaque jour l'entreprise produit $900$ paires de lentilles rigides et $600$ paires de lentilles souples. On constate que, dans la production d'un jour donné, 1\,\% des paires de lentilles rigides sont défectueuses et que, de même, 2\,\% des paires de lentilles souples. On prélève au hasard une paire de lentilles dans cette production. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $R$ : \og la paire de lentilles est rigide\fg ; \item[ ] $S$ : \og la paire de lentilles est souple\fg ; \item[ ] $D$: \og la paire de lentilles est défectueuse \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $P(R) = 0,6$. \item Donner $P(S)$ ; $P_R(D)$ et $P_S(D)$. (On rappelle que $P_A(B)$ désigne la probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.) \end{enumerate} \item Calculer $P(R \cap D)$. (On pourra s'aider en construisant un arbre de probabilités.) \item Montrer que la probabilité que la paire de lentilles soit défectueuse est $0,014$. \item En déduire la probabilité que la paire de lentilles soit rigide sachant qu'elle est défectueuse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Loi binomiale et loi normale} \medskip On considère que l'entreprise fabrique un stock important de paires de lentilles de contact. On admet que 1,4\,\% des paires de lentilles de ce stock sont défectueuses. On prélève au hasard $n$ paires de lentilles dans ce stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de n paires de lentilles. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de ce type, associe le nombre de paires de lentilles défectueuses. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item Dans cette question $n = 150$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(X = 0)$. \item En déduire la probabilité qu'au moins une paire de lentilles soit défectueuse. \end{enumerate} \item Dans cette question $n = \np{1000}$. On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $14$ et d'écart type $3,715$. \begin{enumerate} \item Justifier ces paramètres par le calcul. \item Soit $Y$ une variable aléatoire de loi normale de moyenne $14$ et d'écart type $3,715$. À l'aide de cette approximation, estimer la probabilité d'avoir au plus $10$ paires de lentilles défectueuses, c'est-à-dire calculer $P(Y \leqslant 10,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Test d'hypothèse} \medskip On considère la production de lentilles de contact d'une journée. On souhaite construire un test d'hypothèse bilatéral au seuil de 5\,\% cour savoir si l'on veut considérer que la moyenne des diamètres des lentilles dans la production est $15$~mm. On désigne par $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque lentille prélevée dans la production, associe son diamètre en millimètres. On admet que $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $0,4$. On note $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ lentilles prélevé dans la production, associe la moyenne des diamètres de ces $100$ lentilles. On admet que $\overline{Z}$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\dfrac{0,4}{\sqrt{100}} = 0,04$. L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $\mu = 15$ \fg. L'hypothèse alternative $H_1$ est : \og $\mu \ne 15$ \fg. Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que sous l'hypothèse nulle $H_0$, la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $0,04$. On souhaite déterminer, sous l'hypothèse nulle $H_0$ le réel positif $h$ tel que $P\left(15 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 15 + h\right) = 0,95$. \smallskip \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est correcte.\\ Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \smallskip La valeur approchée de $h$ arrondie au centième est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,04 &0,08 &0,12 &0,8\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon aléatoire de $100$ lentilles dans la production. La moyenne des diamètres des $100$ lentilles de cet échantillon est $\overline{z} = 14,94$~mm. Quelle est la conclusion du test? \end{enumerate} \end{document}