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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien --lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt]Opticien --lunetier session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) :  $y'- y = - t$ où l'inconnue $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)\quad : \quad  y'- y = 0$.
\item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $h$ définie pour tout réel $t$ par $h(t) = at + b$ est une solution particulière de (E).
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution de l'équation différentielle (E), dont la représentation graphique dans un repère du plan passe par le point de coordonnées (0~;~2).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 2~;~2]$  par : 

\[g(t) = t + 1 + \text{e}^t.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$.
\item 	Montrer que l'équation $g(t) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~2]$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
\item 	En déduire le signe de $g(t)$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 2~;~2]$ par : $f(t)= \dfrac{t \cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $t$ de l'intervalle $[- 2~;~2]$ :  $f'(t) = \dfrac{g(t) \cdot  \text{e}^t}{\left(\text{e}^t +1\right)^2}$.
\item En déduire le signe de $f'(t)$ puis le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. Pour dessiner un profil de branche de lunettes, on utilise la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :

\[\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\left\{ \begin{array}{l c l c l}
x &=& f(t) &=& \dfrac{t\cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}\\
y &=& g(t)& =&t +1 + \text{e}^t\\
\end{array}\right.~~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle}~ [- 2 ~;~ 2].\]

\begin{enumerate}
\item À l'aide des résultats des parties B et C, établir un tableau des variations conjointes de $f$ et de $g$ sur $[- 2 ~;~ 2]$.
\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{1}$ obtenu pour la valeur $t = \alpha$.
\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{2}$ obtenu pour la valeur $t = 0$.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant.

On prendra $-1,28$ comme valeur approchée de $\alpha$.

Les valeurs seront arrondies au centième.\\

\medskip

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&	$-2$&	$-1,28$&	0&	1&	2\\ \hline
$f(t)$&&&&&\\ \hline
$g(t)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item Placer les points dont les coordonnées ont été calculées à la question précédente, tracer les droites $T_{1}$ et $T_{2}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes. Les résultats sont à arrondir au centième.}

\medskip

Au cours d'une année, le service ophtalmologie d'un centre hospitalier a examiné \nombre{5000}~patients. Pour chaque patient, une fiche a été remplie sur laquelle sont indiqués l'âge de la personne et le diagnostic posé.\\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne une répartition des sujets en classes d'âge.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Classe d'âge (ans)& [10 ; 20[& 	[20 ; 30[&	[30 ; 40[&	[40 ; 50[ &	[50 ; 60[ &	[60 ; 70[ &	[70 ; 80[&	[80 ; 90[\\ \hline
Effectif $n_{i}$&400&	600&	750&	\np{1000}&	800&	650&	450&	350\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On prélève une fiche au hasard dans le fichier. On note $A$ et $B$ les évènements suivants :

$A$ : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est strictement inférieur à 40~ans.

$B$ : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est supérieur ou égal à 20~ans. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$, $B$ et $A \cap B$. 
		\item  Calculer la probabilité que $A$ soit réalisé sachant que $B$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\item  On prélève au hasard et avec remise 40~fiches dans le fichier. Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 40~fiches le nombre de fiches correspondant à des sujets dont l'âge est supérieur ou égal à 80 ans. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de $X$. 
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement : ($X = 3$).
	\end{enumerate}
\item  On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.

		\item  On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Calculer la probabilité de l'évènement : ($Y = 3$).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Parmi les pathologies rencontrées chez les \nombre{5000}~patients figure l'aniséïconie\footnote{L'aniséïconie se définit comme la perception d'images différentes en taille et/ou en forme par les deux yeux fixant un même objet.}.

On considère un échantillon de 60~fiches prélevées au hasard dans le fichier des patients. Le nombre de fiches du fichier est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 15~fiches de cet échantillon signalent une aniséïconie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie.
\item 	Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 60~fiches prélevées au hasard et avec remise dans le fichier, associe la fréquence des fiches qui signalent une aniséïconie. On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{60}}$, où $p$ désigne la fréquence inconnue des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie.

Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ au seuil de confiance 95\,\%.
\end{enumerate}
\end{document}