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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Opticien lunetier}}
\rfoot{\small{Session 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt]Opticien lunetier session 2000}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une machine fabrique des pièces métalliques de forme cylindrique utilisables pour des branches de lunettes. On note $L$ la variable aléatoire qui à chaque pièce de la fabrication associe sa longueur exprimée en mm. La machine a été réglée de façon que $L$ suive la loi normale de moyenne $110$ et d'écart type $1$. 

\medskip

On note $D$ la variable aléatoire qui à chaque pièce de la fabrication associe son diamètre exprimé en mm. La machine est réglée de façon que $D$ suive la loi normale de moyenne $2$ et d'écart type $0,1$. 

\medskip

On admet que les variables aléatoires $L$ et $D$ sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La longueur d'une pièce est considérée comme correcte si eUe est comprise entre $108,5$ mm et $111,5$ mm. Calculer la probabilité $P_1$, qu'une pièce prélevée au hasard dans la fabrication ait une longueur correcte. 
\item Le diamètre d'une pièce est considéré comme correct s'il est supérieur à $1,8$ mm. Calculer la probabilité $P_2$, qu'une pièce prélevée au hasard dans la fabrication ait un diamètre correct. 
\item Une pièce est acceptée si sa longueur et son diamètre sont corrects. Calculer la probabilité $P_3$ qu'une pièce soit refusée. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Dans la suite du problème on s'intéresse à la longueur de l'ensemble des pièces produites par la machine le 6 octobre 1999. Elles sont assemblées par lots de $50$. Un lot pris au hasard est considéré comme un échantillon de la fabrication. 

\smallskip

Le tableau suivant décrit la distribution des longueurs des pièces de ce lot. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur des pièces*&   Nombre de pièces\\ \hline
[107~;~108[&1\\ \hline
[108~;~109[&6\\ \hline
[109v~;~110[&14\\ \hline
[110~;~111[&20\\ \hline
[111~;~113[&9\\ \hline
\multicolumn{1}{l}{* exprimée en mm}& \multicolumn{1}{l}{}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que la longueur d'une pièce est égale à la valeur centrale de la classe dans laquelle elle est répertoriée. 

Calculer la moyenne $m$ des longueurs des pièces de l'échantillon, ainsi que son écart type $\sigma$. 

On retiendra pour $m$ et $\sigma$ eurs valeurs arrondies au centième. Le détail des calculs n'est pas demandé. 
\item Déduire des résultats obtenus à la question précédente, une estimation $\mu$ de la moyenne des longueurs des pièces de la fabrication. 
\item On admet que la variable aléatoire $L$ qui, à chaque échantillon de $50$ pièces, associe la moyenne des longueurs de pièces de cet échantillon, suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \dfrac{1}{\sqrt{50}}\right)$. 

Estimer par un intervalle de confiance la moyenne des longueurs des pièces de la fabrication avec le coefficient de confiance $0,9$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [500~;~\np{1000}], par 

\[f(x) = 7,5.1O-^{8}(x - 500)^3 - 0,03 \text{e}^{(5-0,01x)} + 15\]
 

(où e désigne la fonction exponentielle népérienne.

\bigskip

\textbf{I. ÉTUDE D'UNE FONCTION AUXILIAIRE}

\medskip 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $g$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [500~;~\np{1000}], par $g(x) = xf'(x) - f(x)$soit 

\[g(x) = \dfrac{3(x + 100)\text{e}^{(5-0,01x)}}{10^4} + \dfrac{3\left(x^3 - 750x^2 - 375 . 10^5\right)}{2 . 10^7}.\] 

\begin{enumerate}
\item Les fonctions dérivées première et seconde de la fonction $g$ étant notées respectivement $g'$ et $g''$, vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [500~;~\np{1000}] : 

\[g'(x) = \dfrac{3x\text{e}^{(5 - 0,01x)}}{10^6} + \dfrac{9x(x - 500)}{2 . 10^7}\] 

\[g''(x) = \dfrac{3(x - 100)^{(5-0,01x)}}{10^6} + \dfrac{9x(x - 250)}{10^7}\] 

\item  Étudier, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [500~;~\np{1000}], le signe de $(x - 100)\text{e}^{(5 - 0,01x)}$ et le signe de $(x - 250)$ ; en déduire le signe de la fonction $g''$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer quel est le sens de variation de la fonction $g'$. 
		\item Calculer $g'(500)$ et $g'(\np{1000})$. 
		\item Montrer qu'il existe un et un seul nombre de l'intervalle [500~;~\np{1000}], que l'on notera $\alpha$, tel que $g'(\alpha) = 0$. 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|ccr|}\hline
$x$									&500	&$\phantom{aaaaa}\alpha\phantom{aaaaa}$	&\np{1000}\\ \hline   
Signe de $g'(x)$					&		&0			&\\ \hline
Sens de variation de la fonction $g$&		&			&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Calculer $g(500)$ ; en déduire le signe de $g(a)$. 
		\item Calculer $g(\np{1000})$. 
		\item Montrer que la fonction $g$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle [500~;~\np{1000}]. On notera $\beta$ le nombre de l'intervalle [500~;~\np{1000}] tel que $g(\beta) = 0$. 
		\item Préciser, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [500~;~\np{1000}], le signe de $g(x)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. RECHERCHE DU MINIMUM D'UNE FONCTION }

\medskip

Dans ce paragraphe, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté au repère (O$x$,O$y$). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est une fonction croissante. 
\item Dans le plan rapporté au repère (O$x$, O$y$) : 

\begin{itemize}
\item placer les points $_A$i de coordonnées $(100i~;~ f(100i))$ pour tout $i$ entier compris entre 5 et 10 \:$(5\leqslant  i \leqslant 10)$. 
\item tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$. 
\end{itemize}

\item Le nombre $x$ étant un nombre de l'intervalle [500~;~\np{1000}], on note $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$. 

Écrire, à l'aide de $x$ et de $f(x)$, la valeur du coefficient directeur de la droite (O$M$). 
\item On considère la fonction $p$ définie, pour tout nombre $x$ réel de l'intervalle [500~;~\np{1000}], par $p(x) = \dfrac{f(x)}{x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction dérivée de la fonction $p$ étant notée $p'$ et $g$ désignant la fonction étudiée au paragraphe A, vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [500~;~\np{1000}], 

\[p'(x) = \dfrac{g(x) }{x^2}.\] 

		\item Étudier le sens de variation de la fonction $p$ et en déduire que $p(\beta)$, où $\beta$ est le nombre mis en évidence à la question A.  4. c., est le minimum de la fonction $p$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par une lecture graphique, à l'aide de la courbe $\mathcal{C}$, proposer une valeur approchée du nombre $\beta$ (justifier la réponse donnée). 
		\item En utilisant la valeur approchée du nombre b trouvée précédemment ainsi que la fonction $g$, étudiée au paragraphe A, déterminer la valeur arrondie à l'unité de $\beta$. 
	\end{enumerate}
\item On note A le point de la courbe $\mathcal{C}$  d'abscisse $\beta$. Montrer que la droite (OA) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$  au point A. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. APPLICATIONS}

\medskip 

Dans une entreprise, une étude a montré que le coût total $C(q)$ exprimé en milliers de francs de la production de $q$ articles, lorsque $q$ est compris entre $500$ et \np{1000},\: $500 \leqslant  q \leqslant \np{1000})$, est donné par la relation: 

\[C(q) = f(q).\] 

Pour une production de $q$ articles, on appelle coût moyen par article le nombre $\dfrac{C(q)}{q}$. 

Actuellement, la production est de $600$ articles. 

Le directeur souhaite augmenter cette production pour diminuer le coût moyen par article. Est-ce possible ? Et si oui, jusqu'à quelle quantité ? 

(Justifier la réponse donnée). 


\bigskip

\textbf{IV. CALCUL D'INTÉGRALE}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer une fonction primitive de la fonction $f$. 
\item Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité, de l'intégrale 

\[\displaystyle\int_{500}^{\np{1000}}  f(x)\:\text{d}(x).\]

\end{enumerate}
\end{document}