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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{15 mai 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Opticien --lunetier session 15 mai 2012}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}
 
\emph{A. Résolution d'équations différentielles}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $x(t)$ la quantité de collyre antiallergique, exprimée en dizaines de microlitres, présente dans le cul-de-sac conjonctival à l'instant $t$. On suppose que la fonction $x$, de la variable réelle $t$, est définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~5] et vérifie l'équation différentielle 

\[\left(E_{1}\right)\: :\quad  x^{\prime}(t) + 2 x(t) = 0\]

où $x^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les solutions définies sur [0~;~5] de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$. 
		\item La quantité de collyre antiallergique instillée dans le cul-de-sac conjonctival à l'instant initial est $x(0) = 5$.
		 
Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 5$.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $y(t)$ la quantité de collyre antiallergique pénétrant dans le tissu conjonctival à l'instant $t$. On suppose que la fonction $y$, de la variable réelle $t$, est définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~5] et vérifie l'équation différentielle 

\[\left(E_{2}\right) : \quad y^{\prime}(t) + y(t) = 10 \text{e}^{- 2t}\]

où $y^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $y$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les solutions définies sur [0~;~5] de l'équation différentielle 
		
		\[\left(E_{0}\right) \::\quad  y^{\prime}(t) + y(t) = 0.\]
		 
		\item Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~5] par $h(t) = - 10 \text{e}^{- 2t}$.
		 
Démontrer que la fonction $h$ est une solution de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$. 
		\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$. 
		\item Déterminer la solution particulière g de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$ qui vérifie la condition initiale $g(0) = 0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\emph{B. Étude de fonctions et tracé d'une courbe}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~5] par 

\[f(t) = 5\text{e}^{- 2t}\]

et $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~5] par 

\[g(t) = 10\left(\text{e}^{- t} - \text{e}^{- 2t}\right).\]
 
Justifier, selon les valeurs de $t$, les signes de $f^{\prime}(t)$ et de $g^{\prime}(t)$ apparaissant dans le tableau de variation suivant.
 
On ne demande pas de justifier les différentes valeurs numériques données dans ce tableau.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,5.5)
\psframe(10,5.5)\psline(0,0.5)(10,0.5)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(0,4.5)(10,4.5)\psline(0,5)(10,5)
\psline(2,0)(2,5.5)
\uput[u](1,5){$t$} \uput[u](2.15,5){$0$} \uput[u](6,5){$\ln 2$} \uput[u](9.8,5){$5$}
\rput(1,4.75){$f^{\prime}(t)$}\rput(2.4,4.75){$- 10$} \rput(4,4.75){$-$} \rput(6,4.75){$- 2,5$} \rput(8,4.75){$-$}\rput(9.4,4.75){$-10\text{e}^{- 10}$}
\rput(1,3.5){$f(t)$} \rput(2.15,4.2){5}\uput[u](9.1,2.5){$5\text{e}^{- 10}$}
\rput(1,1.5){$g(t)$}\uput[u](2.15,0.5){$0$}\uput[d](6,2.5){2,5}\uput[u](8.95,0.5){$10\left(\text{e}^{- 5}- \text{e}^{- 10} \right)$}
\rput(1,0.25){$g^{\prime}(t)$}\rput(2.2,0.25){10}\rput(4,0.25){$+$}\rput(6,0.25){$0$}\rput(8.65,0.25){\small$- 10\left(- \text{e}^{- 5} + 2\text{e}^{- 10} \right)$}\rput(7,0.25){$-$}
\psline{->}(2.5,4)(9,3)
\psline{->}(2.5,1)(5.5,2)\psline{->}(6.5,2)(8.8,1.25) 
\end{pspicture}
\end{center} 

\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 2~cm.
 
On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&f(t)\\
y&=&g(t)
\end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{appartient à l'intervalle}\: [0, 5]. \] 

Représenter, à l'aide du tableau de variation précédent, la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini ci-dessus.
 
La courbe $\mathcal{C}$ illustre le transport médicamenteux. 
\item Préciser les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points obtenus pour $t = 0$ et pour $t = 5$.
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie sera prise en compte.}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip
 
Déterminer la valeur exacte, puis la valeur approchée, arrondie à $10^{-2}$, de l'intégrale : 
5 
\[I = \int_{0}^5 -10\left(\text{e}^{- 2t} - \text{e}^{- t}\right)\:\text{d}t.\]
 
\emph{Cette intégrale correspond à la quantité de collyre antiallergique pénétrant dans le tissu entre les instants $t = 0$ et $t = 5$.}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
Une entreprise fabrique en grande série des pièces de trois modèles différents, pour la lunetterie. Dans chaque partie, on étudie un modèle différent.
 
\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}
 
\emph{A. Défaut(s) des pièces du premier modèle}

\medskip
 
Une pièce du premier modèle peut présenter deux types de défauts : un défaut de longueur et un défaut d'épaisseur.
 
On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée. On note :
 
$L$ l'évènement : \og la pièce présente le défaut de longueur \fg ;

$E$ l'évènement: \og la pièce présente le défaut d'épaisseur \fg.
 
On admet que :
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité que la pièce prélevée présente le défaut de longueur est 

$P(L) = 0,04$ ; 
\item la probabilité que la pièce prélevée présente le défaut d'épaisseur est 

$P(E) = 0,07$ ; 
\item la probabilité que la pièce prélevée présente ces deux défauts est $0,02$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \emph{Les questions a, b, c et d suivantes sont des questions à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ 
Si le total est négatif, la note pour cette question 10 est ramenée à zéro.} 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que la pièce prélevée possède au moins un défaut est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,11 &0,98 &0,09\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item La probabilité que la pièce prélevée possède un seul défaut est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,09 &0,07 &0,03\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
		\item
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline		 
Les évènements $L$ et $E$ sont indépendants. &
Les évènements $L$ et $E$ sont incompatibles.&
Les évènements $L$ et $E$ ne sont ni indépendants ni incompatibles.\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item On prélève maintenant un pièce au hasard parmi toutes celles présentant le défaut de longueur. La probabilité que cette pièce présente également le défaut d'épaisseur est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
0,07& 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}0,5 &$\dfrac{2}{7}$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
	\end{enumerate}
\item On prélève au hasard un échantillon de 10 pièces du premier modèle dans la production. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombre de pièces présentant le défaut de longueur. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
		\item Calculer la probabilité qu'un tel prélèvement comporte exactement trois pièces présentant le défaut de longueur. Arrondir à $10^{- 3}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Rayon des pièces du deuxième modèle}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$}\end{center}
 
Dans la production d'une journée, on prélève au hasard une pièce du deuxième modèle.
 
On désigne par $R$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée, associe son rayon exprimé en mm.
 
On suppose que la variable aléatoire $R$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $0,75$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la pièce prélevée ait un rayon inférieur à 16~mm. 
\item Calculer la probabilité que la pièce prélevée ait un rayon compris entre 13,5 et 16,5~mm.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{C. Masses des pièces du troisième modèle}

\medskip
 
On étudie dans cette partie la masse des pièces du troisième modèle. On désire construire un test unilatéral pour décider si, au seuil de 5\,\%, la masse moyenne des pièces fabriquées le 7 mars 2012 est ou n'est pas inférieure à 20~g.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100~pièces dans la production du 7 mars 2012. Sur cet échantillon, on obtient une masse moyenne $\overline{x} = 19,972$~g et un écart type $\sigma_{e} = \np{0,4979}$.
 
Donner une estimation ponctuelle de l'écart type $\sigma$ des masses des pièces du troisième modèle dans la production du 7 mars 2012 (arrondir à $10^{- 3}$). 
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute pièce du troisième modèle prélevée au hasard dans la production du 7 mars 2012, associe sa masse exprimée en grammes. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $0,5$. 

On désigne par $\overline Y$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100~pièces du troisième modèle prélevé au hasard et avec remise dans la production du 7 mars 2012, associe la moyenne des masses des pièces de cet échantillon, exprimées en grammes. 

L'hypothèse nulle est H$_{0}$ : $\mu = 20$. 

L'hypothèse alternative est H$_{1}$ : $\mu < 20$. 

Le seuil de signification est fixé à $0,05$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sous l'hypothèse H$_{0}$, la variable aléatoire $\overline Y$ suit la loi normale de moyenne 20 et d'écart type $0,05$. Déterminer alors le nombre réel positif $h$ tel que : 
$P\left(\overline{Y} \geqslant  20 - h\right) = 0,95$ (arrondir $h$ à $10^{-3}$). 
		\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. 
		\item À l'aide des résultats de l'échantillon de la question C 1., peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la masse moyenne des pièces du troisième modèle fabriquées le 7 mars 2012 est inférieure à 20~g ?
	\end{enumerate} 
\item Aurait-on la même décision que précédemment, en fixant le seuil de signification du test à 1\,\% ? 

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie sera prise en compte.} 
\end{enumerate}
\end{document}