%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier}, pdftitle = {12 mai 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{12 mai 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier 12 mai 2016} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \textbf{A. Étude d'une série statistique} \medskip Une grande entreprise d'optique fabrique un nouveau type de verre et décide de suivre l'évolution du nombre de verres fabriqués chaque jour pendant les deux premières années de sa commercialisation. Les observations ont lieu tous les quatre mois, le premier jour ouvré du mois. Dans le tableau suivant est rapporté, pour chaque observation, le nombre de centaines de verres fabriqués le premier jour ouvré du mois considéré. Ainsi, au premier jour ouvré de janvier 2014, l'entreprise a fabriqué \np{1000}~verres ; au premier jour ouvré de mai 2014, elle a fabriqué \np{2900}~verres \ldots \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline Date &Janvier 2014&Mai 2014&Septem. 2014&Janvier 2015&Mai 2015&Septem. 2015&Janvier 2016\\ \hline Rang : $x_i$& 0 &4 &8 &12 &16 &20 &24\\ \hline \footnotesize Nombre de verres fabriqués (en centaines) : $y_i$&10 &29 &75 &131 &173 &192 &197 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Afin de mieux modéliser cette série statistique, on effectue le changement de variable : \[z = \ln \left(\dfrac{ y}{200 - y}\right).\] On obtient le tableau de valeurs suivant $\left(\text{les résultats ont été arrondis à }\:10^{-3}\right)$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i$&0&4&8&12&16&20&24\\ \hline $z_i$&$-2,944$&$-1,774$&$-0,511$&0,641&1,857&3,178&4,185\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$. Expliquer pourquoi un ajustement affine de cette série est pertinent. \item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont arrondis à $10^{- 3}$. \item En déduire une estimation du nombre de verres fabriqués le premier jour ouvré du mois de mai 2016. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{200}{1 + 19 \text{e}^{-0,3x}}.\] On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants. Ces résultats sont admis et pourront être utilisés dans les questions suivantes. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline \multicolumn{2}{|l|}{\textbf{Calcul formel}}\\ \hline 1&Dérivée[200 / (1 + 19*exp(-0,3 x)),x]\\ &$\to \np{1140}\cdot \dfrac{\text{e}^{- \frac{3}{10}x}}{\left(19\text{e}^{- \frac{3}{10}x} + 1 \right)^2}$\\ \hline 2&Intégrale[200/( 1 + 19*exp(- 0,3*x) ),x,0,24]\\ &$\approx \np{2812,235459513}$\\ \hline 3 &Limite[200/( 1 + 19*exp(- 0,3*x)), $\infty$]\\ &$\to 200$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation. \item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~24], arrondie à $10^{-2}$. On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est: \[\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x.\] \end{enumerate} \item On considère que la fonction $f$ modélise convenablement l'évolution du nombre de verres, exprimé en centaines, fabriqué chaque jour pendant les deux premières années de commercialisation. En utilisant les résultats précédents pour justifier vos réponses, répondre aux questions suivantes. \begin{enumerate} \item L'entreprise peut-elle envisager, dans ces conditions, d'atteindre un niveau de production de $250$~centaines de verres par jour ? \item Quel est, sur les $24$ mois que dure l'étude, le nombre moyen de verres fabriqués par jour par l'entreprise ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Étude d'une suite} \medskip Pour augmenter sa part de marché, la direction de cette entreprise décide de lancer une campagne de communication. En janvier 2014, l'entreprise compte 120 clients. On modélise l'évolution du nombre de clients de l'entreprise chaque mois à partir de janvier 2014 à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0&= & 120 ;\\ u_{n+ 1}& =& 0,98 u_n + 6,\: \text{pour tout entier naturel }\:n, \end{array}\right.\] où $n$ représente le rang du mois en prenant $n = 0$ pour janvier 2014. Ainsi, $u_0$ désigne le nombre de clients en janvier 2014. Le nombre de clients au mois de rang $n$ est estimé par l'arrondi à l'unité de $u_n$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de ce modèle, estimer le nombre de clients en mars 2014. \item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est correcte.\\ Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \smallskip On souhaite réaliser un algorithme qui affiche en sortie le rang du premier mois, s'il existe, où le nombre de clients dépasse $150$. Quel est, parmi les algorithmes proposés, celui qui réalise cet objectif ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{algorithme 1} &\multicolumn{1}{|c|}{algorithme 2}\\ \hline \textbf{Début} &\textbf{Début}\\ \emph{Variables} : $u, n$ & \emph{Variables} : $u, n$\\ \emph{Initialisation} &\emph{Initialisation}\\ \hspace{0.4cm}$u$ prend la valeur 120 &\hspace{0.4cm}$u$ prend la valeur 120\\ \hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0 & \hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0\\ \emph{Traitement} & \emph{Traitement}\\ \hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant 150$ &\hspace{0.4cm}Tant que $u \geqslant 150$\\ \hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$& \hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$\\ \hspace{0.4cm}Fin Tant que &\hspace{0.4cm} Fin Tant que\\ \emph{Sortie} : afficher $n$ &\emph{Sortie} : afficher $n$\\ \textbf{Fin} &\textbf{Fin}\\ \hline \multicolumn{2}{c}{~}\\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{algorithme 3} &\multicolumn{1}{|c|}{algorithme 4}\\ \textbf{Début} &\textbf{Début}\\ \emph{Variables} : $u, n$ & \emph{Variables} : $u, n$\\ \emph{Initialisation} &\emph{Initialisation}\\ \hspace{0.4cm}$u$ prend la valeur 120 &\hspace{0.4cm}$u$ prend la valeur 120\\ \hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0 & \hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0\\ \emph{Traitement} & \emph{Traitement}\\ \hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant 150$ &\hspace{0.4cm}Tant que $u \geqslant 150$\\ \hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur $n + 1$ &\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ \hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$& \hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$\\ \hspace{0.4cm}Fin Tant que &\hspace{0.4cm} Fin Tant que\\ \emph{Sortie} : afficher $n$ & \emph{Sortie} : afficher $n$\\ \textbf{Fin} &\textbf{Fin}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Pour tout entier $n$, on pose : \[v_n = 300 - u_n.\] On a donc $v_0 = 300 - u_0 = 180$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$. Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: \[u_n = 300 - 180 \times 0,98^n.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter, dans le contexte, le résultat obtenu. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Un magasin d'optique dispose d'un répertoire informatique contenant un grand nombre de fichiers de clients ayant acheté des verres. Pour chaque client, le fichier indique le type de verre acheté, le(s) traitement(s) effectué(s) ainsi que la date et l'heure de l'achat. \begin{center}\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante\\ Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf mention du contraire, à arrondir à }\:\boldmath $10^{-3}$\unboldmath \end{center} \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip On s'intéresse dans cette partie à deux types de traitements effectués sur les verres des clients : le traitement anti-statique et le traitement anti-reflet. L'examen des fichiers du répertoire montre que 20\,\% des clients ont demandé le traitement anti-statique de leurs verres. Il établit aussi que 70\,\% des clients ayant demandé le traitement anti-statique ont également demandé le traitement anti-reflet de leurs verres et que 10\,\% de ceux qui n'avaient pas demandé le traitement anti-statique ont demandé le traitement anti-reflet de leurs verres. On prélève un fichier au hasard dans le répertoire. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $S$ : \og le fichier prélevé est celui d'un client ayant demandé le traitement anti-statique de ses verres \fg{} ; \item[ ] $R$ : \og le fichier prélevé est celui d'un client ayant demandé le traitement anti-reflet de ses verres\fg{} ; \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation. \item Calculer $P(S \cap R)$. \item Montrer que la probabilité que le fichier prélevé est celui d'un client ayant demandé le traitement anti-reflet de ses verres est égale à $0,22$. \item Calculer la probabilité conditionnelle $P_R(S)$. (On rappelle que $P_R(S)$ est la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $R$ est réalisé.) \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Loi binomiale et loi normale} \medskip On s'intéresse dans cette partie à un troisième type de traitement des verres: le traitement anti-rayure. Dans le répertoire, 45\,\% des fichiers correspondent à des clients ayant demandé le traitement anti-rayure. On prélève au hasard et avec remise $100$ fichiers dans le répertoire. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$ fichiers, associe le nombre de fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de leurs verres. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \item On donne ci-dessous un extrait du tableau obtenu à l'aide d'un tableur fournissant des probabilités $P(X = k)$ et $P(X \leqslant k)$, où $k$ désigne un entier naturel compris entre 0 et 100. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline C2 &\multicolumn{4}{|c|}{=LOI.BINOMIAlE(A2;100;0,45;VRAI)}\\ \hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &$k$& $P(X = k)$ &$P(X \leqslant k)$&\\ \hline 2 &45 & \np{0,079988} & \np{0,541316} &\\ \hline 3 &46 & \np{0,078249} & \np{0,619565} &\\ \hline 4 &47 & \np{0,073557} & \np{0,693122} &\\ \hline 5 &48 & \np{0,066452} & \np{0,759573} &\\ \hline 6 &49 & \np{0,057698} & \np{0,817272} &\\ \hline 7 &50 & \np{0,048152} & \np{0,866424} &\\ \hline 8 &51 & \np{0,038625} & \np{0,904048} &\\ \hline 9 &52 & \np{0,029779} & \np{0,933827} &\\ \hline 10 &53 & \np{0,022066} & \np{0,955893} &\\ \hline 11 &54 & \np{0,015714} & \np{0,911607} &\\ \hline 12 &55 & \np{0,010153} & \np{0,982359} &\\ \hline 13 &56 & \np{0,007070} & \np{0,989429} &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide de ce tableau la probabilité qu'il y ait, dans un prélèvement de $100$ fichiers, exactement $50$ fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de leurs verres. \item Déterminer à l'aide de ce tableau le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leqslant a) \geqslant 0,975$. \end{enumerate} \item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de moyenne 45 et d'écart type $4,975$. \begin{enumerate} \item Justifier ces paramètres par le calcul. \item On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $45$ et d'écart type $4,975$. Calculer, à l'aide de cette approximation, la probabilité qu'il y ait, dans un prélèvement de $100$ fichiers, au moins $50$ fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de leurs verres, c'est-à-dire calculer $P(Z \geqslant 49,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Loi de Poisson} \medskip On s'intéresse aux clients achetant des verres polarisants le samedi après-midi. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque samedi après-midi, associe le nombre de clients achetant des verres polarisants. On admet que $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre 6. \emph{Les questions 1 et 2 suivantes sont des questionnaires à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité d'avoir exactement quatre clients achetant des verres polarisants un samedi après-midi est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,104 &0,134 &0,285 &0,889\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item La probabilité qu'un samedi après-midi il y ait au plus deux clients achetant des verres polarisants est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,012 &0,045 &0,062& 0,938\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{D. Intervalle de confiance} \medskip Le directeur du magasin organise une enquête de satisfaction auprès de ses clients ayant acheté des verres polarisants. Il veut estimer la proportion inconnue $p$ de clients satisfaits par ce type de verre. Pour cela, il interroge au hasard un échantillon de $150$~clients parmi l'ensemble de sa clientèle ayant acheté des verres polarisants. Cette clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage avec remise. Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des clients satisfaits par les verres polarisants. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{150}}$. Pour l'échantillon prélevé, on constate que $135$~clients sont satisfaits par les verres polarisants. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$. \item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le niveau de confiance de 95\,\%. Indiquer les calculs effectués et arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$. \item Est-on certain que la proportion $p$ appartienne à cet intervalle de confiance ? Pourquoi ? \end{enumerate} \end{document}