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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{12 mai 2016}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier  12 mai 2016}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\textbf{A. Étude d'une série statistique}

\medskip

Une grande entreprise d'optique fabrique un nouveau type de verre et décide de suivre
l'évolution du nombre de verres fabriqués chaque jour pendant les deux premières années
de sa commercialisation. Les observations ont lieu tous les quatre mois, le premier jour
ouvré du mois.

Dans le tableau suivant est rapporté, pour chaque observation, le nombre de centaines de
verres fabriqués le premier jour ouvré du mois considéré. Ainsi, au premier jour ouvré de
janvier 2014, l'entreprise a fabriqué \np{1000}~verres ; au premier jour ouvré de mai 2014, elle a
fabriqué  \np{2900}~verres \ldots

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Date &Janvier 2014&Mai 2014&Septem. 2014&Janvier 2015&Mai 2015&Septem. 2015&Janvier 2016\\ \hline
Rang : $x_i$& 0 &4 &8 &12 &16 &20 &24\\ \hline
\footnotesize Nombre de verres fabriqués (en centaines) : $y_i$&10 &29 &75 &131 &173 &192 &197 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Afin de mieux modéliser cette série statistique, on effectue le changement de variable :

\[z = \ln \left(\dfrac{ y}{200 - y}\right).\]

On obtient le tableau de valeurs suivant $\left(\text{les résultats ont été arrondis à }\:10^{-3}\right)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$&0&4&8&12&16&20&24\\ \hline
$z_i$&$-2,944$&$-1,774$&$-0,511$&0,641&1,857&3,178&4,185\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$.

Expliquer pourquoi un ajustement affine de cette série est pertinent.
\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ selon la méthode des moindres
carrés, sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont arrondis à $10^{- 3}$.
\item En déduire une estimation du nombre de verres fabriqués le premier jour ouvré du mois
de mai 2016.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{200}{1 + 19 \text{e}^{-0,3x}}.\]

On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants. Ces résultats sont admis et pourront
être utilisés dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{Calcul formel}}\\ \hline
1&Dérivée[200 / (1 + 19*exp(-0,3 x)),x]\\
&$\to \np{1140}\cdot \dfrac{\text{e}^{- \frac{3}{10}x}}{\left(19\text{e}^{- \frac{3}{10}x} + 1 \right)^2}$\\ \hline
2&Intégrale[200/( 1 + 19*exp(- 0,3*x) ),x,0,24]\\
&$\approx \np{2812,235459513}$\\ \hline
3 &Limite[200/( 1 + 19*exp(- 0,3*x)), $\infty$]\\
&$\to  200$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
		\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~24], arrondie à $10^{-2}$.
		
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est:
		
		\[\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x.\]

	\end{enumerate}
\item On considère que la fonction $f$ modélise convenablement l'évolution du nombre de verres,
exprimé en centaines, fabriqué chaque jour pendant les deux premières années de
commercialisation. En utilisant les résultats précédents pour justifier vos réponses, répondre
aux questions suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item L'entreprise peut-elle envisager, dans ces conditions, d'atteindre un niveau de
production de $250$~centaines de verres par jour ?
		\item Quel est, sur les $24$ mois que dure l'étude, le nombre moyen de verres fabriqués par
jour par l'entreprise ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Étude d'une suite}

\medskip

Pour augmenter sa part de marché, la direction de cette entreprise décide de lancer une
campagne de communication.

En janvier 2014, l'entreprise compte 120 clients.

On modélise l'évolution du nombre de clients de l'entreprise chaque mois à partir de janvier
2014 à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&= & 120 ;\\
u_{n+ 1}& =& 0,98 u_n + 6,\: \text{pour tout entier naturel }\:n,
\end{array}\right.\]

où $n$ représente le rang du mois en prenant $n = 0$ pour janvier 2014.

Ainsi, $u_0$ désigne le nombre de clients en janvier 2014.

Le nombre de clients au mois de rang $n$ est estimé par l'arrondi à l'unité de $u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de ce modèle, estimer le nombre de clients en mars 2014.
\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est correcte.\\
Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

On souhaite réaliser un algorithme qui affiche en sortie le rang du premier mois, s'il existe,
où le nombre de clients dépasse $150$.

Quel est, parmi les algorithmes proposés, celui qui réalise cet objectif ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{algorithme 1}			&\multicolumn{1}{|c|}{algorithme 2}\\ \hline
\textbf{Début}								&\textbf{Début}\\ 
\emph{Variables} : $u, n$					& \emph{Variables} : $u, n$\\
\emph{Initialisation} 						&\emph{Initialisation}\\
\hspace{0.4cm}$u$ prend la valeur 120		&\hspace{0.4cm}$u$  prend la valeur 120\\
\hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0			& \hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0\\
\emph{Traitement}							& \emph{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant 150$	&\hspace{0.4cm}Tant que $u \geqslant 150$\\
\hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$& \hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que					&\hspace{0.4cm} Fin Tant que\\
\emph{Sortie} : afficher $n$				&\emph{Sortie} : afficher $n$\\
\textbf{Fin} 								&\textbf{Fin}\\ \hline
\multicolumn{2}{c}{~}\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{algorithme 3}			&\multicolumn{1}{|c|}{algorithme 4}\\
\textbf{Début}								&\textbf{Début}\\ 
\emph{Variables} : $u, n$					& \emph{Variables} : $u, n$\\
\emph{Initialisation} 						&\emph{Initialisation}\\
\hspace{0.4cm}$u$ prend la valeur 120		&\hspace{0.4cm}$u$  prend la valeur 120\\
\hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0			& \hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur 0\\
\emph{Traitement}							& \emph{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant 150$	&\hspace{0.4cm}Tant que $u \geqslant 150$\\
\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur $n + 1$	&\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$& \hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $0,98 \times u + 6$\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que					&\hspace{0.4cm} Fin Tant que\\
\emph{Sortie} : afficher $n$				& \emph{Sortie} : afficher $n$\\
\textbf{Fin} 								&\textbf{Fin}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour tout entier $n$, on pose :

\[v_n = 300 - u_n.\]

On a donc $v_0 = 300 - u_0 = 180$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$.
		
Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\:
		
\[u_n = 300 - 180 \times 0,98^n.\]
		
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		
Interpréter, dans le contexte, le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Un magasin d'optique dispose d'un répertoire informatique contenant un grand nombre de
fichiers de clients ayant acheté des verres.

Pour chaque client, le fichier indique le type de verre acheté, le(s) traitement(s) effectué(s)
ainsi que la date et l'heure de l'achat.

\begin{center}\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante\\
Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf mention du contraire, à arrondir à }\:\boldmath $10^{-3}$\unboldmath
\end{center}

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à deux types de traitements effectués sur les verres des
clients : le traitement anti-statique et le traitement anti-reflet.

L'examen des fichiers du répertoire montre que 20\,\% des clients ont demandé le traitement
anti-statique de leurs verres.

Il établit aussi que 70\,\% des clients ayant demandé le traitement anti-statique ont également
demandé le traitement anti-reflet de leurs verres et que 10\,\% de ceux qui n'avaient pas
demandé le traitement anti-statique ont demandé le traitement anti-reflet de leurs verres.

On prélève un fichier au hasard dans le répertoire.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $S$ : \og le fichier prélevé est celui d'un client ayant demandé le traitement anti-statique de
ses verres \fg{} ;
\item[ ] $R$ : \og le fichier prélevé est celui d'un client ayant demandé le traitement anti-reflet de ses
verres\fg{} ;
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
\item Calculer $P(S \cap R)$.
\item Montrer que la probabilité que le fichier prélevé est celui d'un client ayant demandé le
traitement anti-reflet de ses verres est égale à $0,22$.
\item Calculer la probabilité conditionnelle $P_R(S)$.

(On rappelle que $P_R(S)$ est la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $R$ est
réalisé.)
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale et loi normale}
 
\medskip
 
On s'intéresse dans cette partie à un troisième type de traitement des verres: le traitement
anti-rayure.
Dans le répertoire, 45\,\% des fichiers correspondent à des clients ayant demandé le
traitement anti-rayure. On prélève au hasard et avec remise $100$ fichiers dans le répertoire.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$ fichiers, associe le nombre de fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de leurs verres.

\medskip

\begin{enumerate}

\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\item On donne ci-dessous un extrait du tableau obtenu à l'aide d'un tableur fournissant des probabilités $P(X = k)$ et $P(X \leqslant k)$, où $k$ désigne un entier naturel compris entre 0 et 100.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
C2 	&\multicolumn{4}{|c|}{=LOI.BINOMIAlE(A2;100;0,45;VRAI)}\\ \hline
	&A 	&B 				&C					&D\\ \hline
1	&$k$& $P(X = k)$ 	&$P(X \leqslant k)$&\\ \hline
2	&45	& \np{0,079988}	& \np{0,541316}	&\\ \hline
3	&46	& \np{0,078249}	& \np{0,619565}	&\\ \hline
4	&47	& \np{0,073557}	& \np{0,693122}	&\\ \hline
5	&48	& \np{0,066452}	& \np{0,759573}	&\\ \hline 
6	&49	& \np{0,057698}	& \np{0,817272}	&\\ \hline
7	&50	& \np{0,048152}	& \np{0,866424}	&\\ \hline
8	&51	& \np{0,038625}	& \np{0,904048}	&\\ \hline
9	&52	& \np{0,029779}	& \np{0,933827}	&\\ \hline
10	&53	& \np{0,022066}	& \np{0,955893}	&\\ \hline
11	&54	& \np{0,015714}	& \np{0,911607}	&\\ \hline
12	&55	& \np{0,010153}	& \np{0,982359}	&\\ \hline
13	&56	& \np{0,007070}	& \np{0,989429}	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide de ce tableau la probabilité qu'il y ait, dans un prélèvement de $100$
fichiers, exactement $50$ fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de
leurs verres.
		\item Déterminer à l'aide de ce tableau le plus petit entier $a$ tel que 
		
$P(X \leqslant a) \geqslant 0,975$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de
moyenne 45 et d'écart type $4,975$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier ces paramètres par le calcul.
		\item On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $45$ et d'écart type
$4,975$.
		
Calculer, à l'aide de cette approximation, la probabilité qu'il y ait, dans un prélèvement de
$100$ fichiers, au moins $50$ fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de
leurs verres, c'est-à-dire calculer 
		
$P(Z \geqslant 49,5)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Loi de Poisson}

\medskip

On s'intéresse aux clients achetant des verres polarisants le samedi après-midi.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque samedi après-midi, associe le nombre
de clients achetant des verres polarisants. On admet que $Y$ suit la loi de Poisson de
paramètre 6.

\emph{Les questions 1 et 2 suivantes sont des questionnaires à choix multiples. Pour chaque
question, une seule réponse est correcte. Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne
demande aucune justification.\\
La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité d'avoir exactement quatre clients achetant des verres polarisants un samedi
après-midi est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,104 &0,134 &0,285 &0,889\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité qu'un samedi après-midi il y ait au plus deux clients achetant des verres
polarisants est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,012 &0,045 &0,062& 0,938\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. Intervalle de confiance}

\medskip

Le directeur du magasin organise une enquête de satisfaction auprès de ses clients ayant
acheté des verres polarisants. Il veut estimer la proportion inconnue $p$ de clients satisfaits
par ce type de verre.

Pour cela, il interroge au hasard un échantillon de $150$~clients parmi l'ensemble de sa
clientèle ayant acheté des verres polarisants. Cette clientèle est suffisamment importante
pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage avec remise.

Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet
échantillon, des clients satisfaits par les verres polarisants. On suppose que $F$ suit la loi
normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{150}}$.

Pour l'échantillon prélevé, on constate que $135$~clients sont satisfaits par les verres
polarisants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$.
\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le niveau de
confiance de 95\,\%. Indiquer les calculs effectués et arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$.
\item Est-on certain que la proportion $p$ appartienne à cet intervalle de confiance ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\end{document}