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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{mai 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\session  mai 2012 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ÉPREUVE OBLIGATOIRE}}

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip
 
Une société est chargée de la réservation et de la distribution de billets pour les Jeux Olympiques 2012. Cette société étudie d'abord la fréquentation de son site internet (Partie A) puis les types de demandes faites sur ce site (Partie B).
 
\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}
 
Au cours des premiers mois d'ouverture du site, l'observation du nombre de visites donne le tableau ci-dessous :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang du mois : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
Nombre de visites : $y_{i}$ & 450 &510 &561 &601 &624\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude statistique}
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la calculatrice, calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
		 
Le résultat sera arrondi au millième. 
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$.
		 
\emph{Aucune justification n'est demandée.} 
		\item Calculer, à l'aide de cette équation, les valeurs obtenues pour les mois du rang 1 au rang 5.
		 
Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Étude d'une suite}
 
On définit deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ de la façon suivante :
 
$\bullet~~$la suite $\left(u_{n}\right)$ par $u_{1} = 450$ et $u_{n+1} = 0,8u_{n} + 150$, pour tout entier naturel $n$ non nul ;
 
$\bullet~~$la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = u_{n} - 750$, pour tout entier naturel $n$ non nul. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. 
		\item Exprimer $v_{n}$, puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Comparaison des méthodes}
 
En supposant que les résultats des questions 1. c. et 2. c. fournissent des approximations des termes de la série des  $y_{i}$ tableau initial, quelle est la meilleure des méthodes utilisées ? Justifier. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}
 
Devant l'afflux des demandes, cette société met en place des critères de sélection des candidats. Elle définit les trois variables booléennes suivantes :
 
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a = 1$ si la personne est âgée de 30 ans ou plus ; 
\item[$\bullet~~$] $b = 1$ si la personne possède une licence sportive; 
\item[$\bullet~~$] $c = 1$ si la personne souhaite un hébergement en hôtel.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les demandes acceptées seront celles des personnes ayant : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] moins de 30 ans et titulaires d'une licence sportive; 
\item[$\bullet~~$] ou âgées de 30 ans ou plus et demandant un hébergement en hôtel; 
\item[$\bullet~~$] ou titulaires d'une licence sportive et demandant un hébergement autre qu'en hôtel.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire par une fonction booléenne E le fait qu'une demande soit acceptée. 
\item Construire un diagramme de Karnaugh pour la fonction E. 
\item Simplifier E en utilisant le diagramme précédent ou un calcul booléen. 
\item Traduire par une phrase la simplification de E.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A : QCM (Questionnaire à choix multiples)} \end{center}
 
Dans cette partie, pour chaque question, une seule réponse est correcte.
 
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Une absence de réponse ou une réponse fausse n'enlève ni ne rapport aucun point.
 
Aucune justification n'est demandée.
 
On notera sur la copie le numéro de la question, SUIVI de la lettre correspondant à la réponse proposée.

\medskip
 
Des météorologues créent différents modèles statistiques pour les prévisions sur la période des Jeux Olympiques du 27 juillet 2012 au 12 août 2012, c'est-à-dire sur les 17 jours de compétition.

\medskip
 
\textbf{Premier modèle}

\medskip
 
Les journées de pluie sont indépendantes les unes des autres et la probabilité qu'il pleuve un jour donné est $0,2$.
 
\textbf{Question 1}
 
Dans ce cas, la probabilité qu'il ne pleuve pas durant les Jeux Olympiques est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $17 \times 0,8$ &\textbf{b.~} $0,8^{17}$ &
\textbf{c.~} $1 - 0,2^{17}$ &\textbf{d.~} $0,8 \times 0,2$ 
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 2}
 
Dans ce cas, la probabilité (approchée à $10^{-4}$ près) qu'il pleuve au plus un jour durant les Jeux Olympiques est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} 0,2& 
\textbf{b.~} \np{0,0045} &
\textbf{c.~} \np{0,1182} &
\textbf{d.~} \np{0,9719} 
\end{tabularx}
\bigskip

\textbf{Deuxième modèle}

\medskip
 
La probabilité qu'il pleuve le jour de la cérémonie d'ouverture est $0,2$ ; s'il pleut un jour donné, la probabilité qu'il pleuve aussi le lendemain est $0,5$ ; s'il ne pleut pas un jour donné, la probabilité pour qu'il ne pleuve pas non plus le jour suivant est $0,6$.

\medskip
 
\textbf{Question 3}
 
Dans ce cas, la probabilité qu'il pleuve les deux premiers jours des Jeux Olympiques est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $0,2 + 0,5$ &
\textbf{b.~} $0,2 \times 0,5$ &
\textbf{c.~} $0,4 + 0,5$ &
\textbf{d.~} $0,8 \times O,4$
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 4}
 
Dans ce cas, la probabilité qu'il pleuve un jour et un seul sur les deux premiers jours des Jeux Olympiques est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} 0,5& \textbf{b.~} 0,9& \textbf{c.~} 0,7& \textbf{d.~} 0,42
\end{tabularx}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : loi normale}

\medskip
 
Une enquête est faite auprès de personnes désirant acheter des produits dérivés.
 
On choisit au hasard un individu parmi ces personnes. La variable aléatoire $X$ donnant la somme envisagée par cet individu, exprimée en euros, suit la loi normale de moyenne $450$ et d'écart-type $40$.
 
Tous les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondie au centième, en utilisant la calculatrice ou la table.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(400 \leqslant  X \leqslant 500)$. 
\item Calculer la probabilité que l'individu envisage de dépenser plus de $480$\euro. 
\item Calculer la probabilité que l'individu envisage de dépenser entre $420$ et $550$~\euro. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~17] par 

\[f(t) = t (7 - 2 \ln t).\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 17]. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur [1~;~17] l'inéquation : $5 - 2\ln t > 0$. 
		\item En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle [1~;~17]. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 

On donnera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~17].
	\end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs arrondies au centième.
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&1 	&5 	&10 	&11 &12 &13 &14 	&16 &17  \\ \hline
$f(t)$	&7	&	&23,95	&	&	&	&24,11	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

Une chaîne de magasins britannique a obtenu l'exclusivité de la commercialisation des produits dérivés des Jeux Olympiques de Londres 2012 sur les différents sites de la compétition entre le 27 juillet 2012 et le 12 août 2012.
 
Une étude d'impact a permis d'estimer que les recettes journalières, en milliers d'euros, issues de la vente de ces produits dérivés sont données par $f(n)$, avec $n \in [1~;~17]$, où $f$ est la fonction de la partie A et $n$ est le $n$-ième jour des Jeux Olympiques (le 27 juillet, étant le 1\up{er} jour, correspond à $n = 1$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une estimation de la recette journalière du 31 juillet 2012 (qui correspond à $n = 5$) pour cette chaîne de magasins. Donner une valeur approchée du résultat à un millier d'euros près. 
\item Déterminer la date à laquelle la chaîne de magasins réalisera une recette journalière maximale et donner une estimation approchée à un millier d'euros près de cette recette. 
\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~17], obtenue à l'aide d'un logiciel de calcul formel, est définie par 

\[F(t) = t^2(4 - \ln t).\]
 
En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~17].
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

Pour rembourser une partie des emprunts contractés pour la réalisation des infrastructures des Jeux, le comité d'organisation prélève sur chaque recette journalière de cette chaîne de magasins, une taxe de 15\,\% sur la part de la recette excédant $20$~milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que si le $n$-ième jour des Jeux Olympiques, la recette dépasse $20$ ~milliers d'euros, alors le montant $I(n)$ de la taxe, exprimé en milliers d'euros, est donné par l'expression : 

\[I(n) = 1,05n - 3 - 0,3 n \ln n.\]
 
\item La taxe est-elle perçue le quatrième jour des Jeux Olympiques ? Justifier brièvement. 
\item La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie dans la partie A est donnée en annexe.
 
Déterminer graphiquement le nombre de jours où le comité d'organisation pourra prélever effectivement cette taxe. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe}} 

\vspace{1.5cm}

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\uput[u](7,22){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
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