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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Informatique de  gestion Métropole}}
\rfoot{\small{Session 2000}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~BTS Informatique de   gestion   Métropole~\decofourright\\[5pt]Épreuve facultative  novembre 2000}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (- x + 3)\text{e}^{-x}.\]

Le plan est rapporté à un repère orthonormal et on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^2  (- x + 3)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les développements limités d'ordre 2 au voisinage de zéro de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x}$ et de la fonction $f$.
		\item On admet qu'une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est 
		
		$y = -4x + 3$.
		
Déduire de la question précédente la position relative de la tangente (T) et de la courbe $\mathcal{C}$
au voisinage du point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Un technicien en maintenance a étudié le temps de bon fonctionnement de machines d'un type donné. La moyenne des temps de bon fonctionnement (MTBF) est de \np{1000}~heures.

On admet que la variable aléatoire $X$, qui, à toute machine de ce type, prise au hasard, associe sa durée de vie $t$ exprimée en heures, suit une loi exponentielle.

On désigne par $R$ la fonction de fiabilité correspondante.

\medskip

\emph{Les résultats demandés seront donnés sous forme de valeurs décimales arrondies à}  $10^{- 3}$.\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écart type $\sigma$ de $X$.

En déduire l'expression de $R(t)$ en fonction de $t$.
\item  On choisit au hasard une machine du type considéré.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
		
\og la machine n'a pas eu de défaillance au cours des 800 premières heures d'utilisation \fg{} ;
		
\og la machine a eu une défaillance au cours des 900 premières heures d'utilisation \fg.
		\item Soit $A$ l'évènement : \og la machine n'a pas eu de défaillance au cours des $800$ premières heures d'utilisation \fg.
		
Soit $B$ l'évènement: \og la machine n'a pas eu de défaillance au cours des \np{1100} premières heures d'utilisation \fg.
		
$\bullet~~$Déterminer l'évènement $A \cap B$.
		
$\bullet~~$Montrer que la probabilité pour que la machine n'ait pas eu de défaillance pendant les \np{1100} premières heures d'utilisation, sachant qu'elle n'en a pas eu au cours des $800$ premières est approximativement $0,741$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}