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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2001 - Nouvelle-Calédonie\\ Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ÉPREUVE FACULTATIVE}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On se propose de résoudre sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  (2x + 1)y' - 2y = \dfrac{(2x + 1)^2}{x + 1}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Donner toutes les solutions de l'équation homogène associée à $(E) :\quad  (2x + 1)y'- 2 y = 0$. 
\item Montrer que la fonction $f$, définie par $f(x) = (2x + 1) \ln ( x + 1)$ est une solution particulière de $(E)$. 
\item Déduire des questions précédentes toutes les solutions de $(E)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Effectuer un développement limité d'ordre 3 au voisinage de $0$ de la fonction $f$. On l'écrira sous la forme $f(x) = p(x) + x^3 \epsilon(x)$, avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon (x) = 0$. 
		\item On admet que $K = \displaystyle\int_{0}^{0,3} p(x)\:\text{d}x$ est une bonne valeur approchée de l'intégrale 	$\displaystyle\int_{0}^{0,3} f(x)\:\text{d}x$.
		
Calculer la valeur exacte de $K$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise de chemins de fer a demandé à $100$ de ses clients, pris au hasard, le prix du billet en leur possession, afin d'évaluer le prix moyen $m$ du billet pour l'ensemble de tous ses clients (on suppose qu'ils sont assez nombreux pour qu'on puisse assimiler l'interrogation de chaque client à un tirage avec remise).

\medskip
 
On a regroupé les résultats, par classes, dans le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{5}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}>{\small}c|}\hline 
Prix (en F) &[0~;~200[ &[200~;~400[ &[400~;~600[ &[600~;~800[ &[800~;~\np{1000}[ &[\np{1000}~;~\np{1200}[\\ \hline 
Nb. de clients &7 &22 &35 &20 &12 &4\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
 
Pour les calculs d'écart type demandés aux questions 1. et 2., on donnera les valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la moyenne $m_{e}$ et l'écart type $\sigma_{e}$ de cet échantillon (on suppose que, pour chaque classe, tous les prix sont situés au centre de cette classe). 
		\item Donner une estimation ponctuelle du prix moyen $m$ du billet et de son écart type $\sigma$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les estimations ponctuelles précédentes, donner un intervalle de confiance de $m$ au seuil de confiance de 95\,\%. 
		
On donnera, pour les bornes de cet intervalle, les valeurs décimales arrondies à $10^{-1}$ près. 
		\item $m$ est-il forcément dans l'intervalle précédent ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}