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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session mai  2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\session mai 2012 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  x^2 y' - (x + 1) y = x^3 - x^2 + 1\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = \ln x - \dfrac{1}{x}\]

est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{x +  1}{x}$. 
\item Résoudre, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right) :\quad  x^2 y'- (x + 1)y = 0.\]
 
\item Vérifier que la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $u(x) = x2 + x - 1$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Donner la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.  
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g (x) = x \text{e}^x + x^2 + x - 1$ est 
l'unique solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que : $g(1) = 2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\begin{center}\emph{Tous les résultats de cet exercice seront arrondis au dixième}
\end{center}
 
Une agence de voyage propose des séjours à Londres pour la période des Jeux Olympiques 2012. 

Avant de fixer les conditions tarifaires, la société effectue un sondage auprès de sa clientèle. Ainsi, $257$ personnes sont interrogées sur le montant de la dépense qu'elles envisagent de consacrer à un tel séjour. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Montant en euros& 
[500~;~\np{1000}[& [\np{1000}~;~\np{1500}[& [\np{1500}~;~\np{2000}[& [\np{2000}~;~\np{2500}[& [\np{2500}~;~\np{3000}]\\ \hline 
Nombre de personnes&60 &81 &57 &35 &24\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En assimilant chaque classe à son centre, quelle valeur obtient-on pour la moyenne $\overline{x}$ et pour l'écart-type $\sigma_{1}$ de cette série statistique ? 
\item La variable aléatoire $X$, qui à toute personne choisie au hasard dans le fichier de la clientèle, associe le montant de la dépense envisagée, exprimé en euros, suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma$.
 
Déterminer une estimation ponctuelle de la moyenne $m$ et expliquer pourquoi on peut prendre $623,3$ comme estimation ponctuelle de l'écart-type $\sigma$. 
\item On admet que la variable aléatoire X ,qui à tout échantillon de $n$ personnes prélevées au hasard et avec remise dans le fichier de la clientèle, associe le montant moyen des dépenses envisagées, exprimé en euros, suit la loi normale $\mathcal{N}\left(m~;~\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Dans cette question, on prendra $n = 257$.
 
Déterminer un intervalle de confiance, avec le risque de 5\,\%, de la moyenne $m$ des montants envisagés par l'ensemble des personnes du fichier (on prendra comme valeur de $\sigma$ l'estimation ponctuelle fournie par l'échantillon). 
\end{enumerate}
\end{document}