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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2001 - Métropole\\ Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ÉPREUVE FACULTATIVE}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on pose : 

\[u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n \text{e}\:\text{d}x. \qquad u_{0} = \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_{0} = \text{e} - 1$ et que $u_{1} = 1$. 
\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a la relation de récurrence :
 
\[u_{n} = \text{e} - n u_{n-1}.\] 
\item En utilisant la relation précédente, calculer les valeurs exactes de $u_{2},\: u_{3}$ et $u_{4}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{}La société ECOLUX vend des panneaux solaires de deux types (A ou B).\\
 On suppose que la variable aléatoire $X_{A}$ qui, à tout panneau solaire de type $A$, choisi au hasard, associe la durée de vie exprimée en mois, suit la loi exponentielle de paramètre \np{0,0125}.\\ 
On suppose que la variable aléatoire $X_{B}$ qui, à tout panneau solaire de type $B$, choisi au hasard, associe la durée de vie exprimée en mois, suit la loi exponentielle de paramètre $0,01$.\\ 
On suppose $X_{A}$ et $X_{B}$ indépendantes.\\ 
Vous avez acheté un panneau $A$ et un panneau $B$.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la durée de vie moyenne d'un panneau de type $A$, et de celle d'un panneau de type $B$. 
\item Quelle est la probabilité pour qu'au bout de 8 ans (c'est-à-dire 96 mois) les deux panneaux fonctionnent encore ?
 
(On donnera la valeur décimale arrondie, à $10^{-3}$ près, du résultat). 
\item \emph{ECOLUX déclare dans sa publicité que le rendement (en \%) de ses panneaux de type A est de 60\,\%.\\
\medskip
 Rappel : Si la variable aléatoire qui, à tout panneau de type $A$ choisi au hasard, associe le rendement (en \%) a pour espérance mathématique $m$ et pour écart type $\sigma$, alors on considère que la variable aléatoire $Z$ qui à tout échantillon aléatoire non exhaustif de $n$ panneaux (avec $n > 30$), associe le rendement moyen,  suit la loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.\\
Une statistique effectuée sur un échantillon aléatoire non exhaustif de 37 panneaux de type $A$ a donné un rendement moyen (en \%) de $57$ avec un écart type de $12$.\\ 
(La valeur de la variable $Z$ pour cet échantillon est donc $57$).}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une estimation ponctuelle de $\sigma$ à $10^{-2}$ près. On utilisera cette approximation dans la question suivante. 
		\item Construire et effectuer un test d'hypothèse au niveau de signification de 5\,\%, en prenant pour :
		
\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item hypothèse $H_{0} : m = 60$ ;
\item hypothèse $H_{1} : m \neq 60$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
Conclure.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}