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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Informatique de  gestion Métropole}}
\rfoot{\small{Session 2000}}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur  Métropole obligatoire~\decofourright\\[5pt] Informatique de   gestion  mai 2000}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Les questions $1.$ et $2.$ peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'ensemble $E = \{x_1,\: x_2,\:x_3\}$ et l'application $f$ de $E$ dans $E$ définie par

\[f\left(x_1 \right) = x_2, \quad f\left(x_2 \right) = x_3, \quad f\left(x_3 \right) = x_2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les antécédents par $f$ de chacun des éléments de l'ensemble $E$.
		\item L'application $f$ est-elle une injection de $E$ dans $E$ ? (Justifier).
		\item L'application $f$ est-elle une surjection de $E$ sur $E$ ? (Justifier).
	\end{enumerate}
\item On considère le graphe orienté $G$, de sommets $x_1,\: x_2$ et $x_3$ tel que les successeurs de
$x_1,\: x_2$ et $x_3$ sont respectivement $f\left(x_1\right),\: f\left(x_2\right)$ et $f\left(x_3\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation géométrique de ce graphe.
		\item On note $M$ la matrice d'adjacence de G.
(
)
On constate que $M = \begin{pmatrix}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\0&1&0\end{pmatrix}$. Expliquer pourquoi la première ligne de $M$ est 0\; 1\; 0.
		\item On note $\widehat{G}$ la fermeture transitive de $G$.
		
On rappelle que $\widehat{G}$ est le graphe obtenu en conservant les sommets de $G$ et en ajoutant, s'ils n'existent pas dans $G$, les arcs $\left(x_i,\:x_j\right)$ lorsqu'il existe un chemin d'origine $x_i$ et d'extrémité $x_j$ dans le graphe $G$.
		\item Tracer une représentation géométrique de $\widehat{G}$ et vérifier que la matrice d'adjacence $\widehat{M}$ du graphe $\widehat{G}$ est $\begin{pmatrix}0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\0&1&1\end{pmatrix}$.

		\item Calculer les matrices booléennes $M^{[2]}$ et $M^{[3]}$.
		
Vérifier que $\widehat{M} = M \varoplus M^{[2]} \varoplus  M^{[3]}$, où $\varoplus$ représente l'addition booléenne des matrices.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Dans une compagnie d'assurance, on a pu constater que sur les \np{1200}~assurés, 60 avaient envoyé au moins une déclaration de sinistre dans l'année.

On dira dans tout cet exercice que ces $60$ dossiers sont de \og type DS \fg.

On prélève au hasard et avec remise $n$ dossiers parmi les \np{1200} dossiers des assurés.

$X$ est la variable aléatoire donnant, parmi les $n$ dossiers prélevés, le nombre de dossiers de \og type DS \fg.

Les probabilités demandées seront données sous forme décimale, arrondies à $10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Donner les paramètres de cette loi.
\item Dans cette question, on prend $n = 10$. Calculer les probabilités:
	\begin{enumerate}
		\item pour qu'un seul dossier soit de \og type DS \fg{} ;
		\item pour qu'il y ait, parmi ces 10 dossiers, au moins un dossier de \og type DS \fg.
	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on prend $n = 60$.
On admet que la loi de probabilité $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Soit $Y$ une
variable aléatoire suivant cette loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre de la loi de Poisson suivie par $Y$.
		\item Quelle est la probabilité $p(Y \geqslant 2)$ ?
	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on prend $n = 200$.
	
On admet que la loi de probabilité de $X$ peut être approchée par une loi normale. Soit $Z$ une variable aléatoire suivant cette loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les paramètres de la loi normale suivie par $Z$.
		\item Calculer les probabilités suivantes $p(Z \leqslant 9)$ et $P(Z \geqslant  15)$.
		\item Calculer une valeur approchée de $p(X = k)$ revient à calculer 
		
		$P(k - 0,5 \leqslant  Z \leqslant  k + 0,5)$, où intervient la correction de continuité.
		
À l'aide de ce renseignement, calculer une valeur approchée de la probabilité $p(X = m)$,
où $m$ est l'espérance mathématique de la variable $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les parties } B \emph{et} C \emph{de cet exercice peuvent être traitées indépendamment de la partie } A

\medskip

Une étude statistique a permis d'établir qu'à partir du début de l'année 1990, le taux des ménages équipés d'un ordinateur dans une ville V est donné approximativement, en fonction du nombre $t$ d'années
écoulées depuis le début de l'année 1990, par

\[f(t) = \dfrac{1}{1 + k \text{e}^{- at}},\: \text{où }\: k\: \text{et}\: a\: \text{sont deux nombres réels positifs.}\]

D'après cette étude, on sait qu'au début de l'année 1990, 20\,\% des ménages étaient équipés d'un ordinateur et qu'au début de l'année  1999, 40\,\% des ménages l'étaient.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Détermination de $k$ et $a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $k$ et $a$ sont solutions du système  $\left\{\begin {array}{l c l}
1 + k &=& 5\\-9a .
1 +k\text{e}^{- 9a} &=&2,5
\end{array}\right.$
\item Résoudre ce système, puis donner la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près de $a$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(t) = \dfrac{1}{1 + 4\text{e}^{-0,11t}}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij.
(unités graphiques : 0,5~cm sur l'axe des abscisses, 10~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et en déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote, notée $(\Delta)$, dont on donnera une équation.
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,
 
\[f'(t) = \dfrac{0,44\text{e}^{-0,11t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,11t} \right)^2}.\]
		
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
		\item Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ (placer en particulier les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 20 et 40).
		\item Résoudre algébriquement l'équation $f(t) = 0,6$ et faire apparaître sur la figure les traits permettant de visualiser cette résolution.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction F, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = \dfrac{1}{0,11}\ln \left(4 + \text{e}^{0,11 t}\right)$.
		
Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [7~;~9], c'est à dire $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_7^9  f(t)\: \text{d}t$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Utilisation de résultats de la partie B.

\medskip

On suppose que $f(t)$ est une approximation satisfaisante, au moins jusqu'en 2010, du taux des ménages équipés d'un ordinateur dans la ville V.

En utilisant cette approximation et des résultats obtenus à la partie B, déterminer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item le pourcentage des ménages équipés d'un ordinateur au début de l'année 2010 ;
\item l'année à partir de laquelle 60\,\% des ménages seront équipés d'un ordinateur;
\item une valeur approchée du pourcentage moyen des ménages équipés d'un ordinateur entre le début
de l'année 1997 et le début de l'année 1999.
\end{enumerate}
\end{document}