\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\setlength{\headheight}{13.59999pt}
\addtolength{\topmargin}{-1.59999pt}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS},
pdftitle = {Métropole 16 mai 2025},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B1}}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 16 mai 2025~\decofourright\\[7pt]Groupement B1\footnote{
Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries, 
Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation,  Environnement nucléaire, 
Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), 
Traitement des matériaux (2 options), 
Travaux publics}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\medskip

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Pour fabriquer de l'aluminium en feuille on chauffe une plaque d'aluminium à 250~\textcelsius{} puis
on la sort du four  : c'est alors la phase de refroidissement. On étudie l'évolution de la
température de la plaque d'aluminium durant cette phase.

On note $f(t)$ la température de la plaque d'aluminium à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en degré Celsius, et $t$ désigne le nombre de minutes de refroidissement.

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{\large Partie A. Équation différentielle}

\medskip

On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :

\[(E): y' + 0,25y = 7,5 ,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable
sur l'intervalle $[0~; +\infty [$, et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle :
\[ (E_0) : y' + 0,25y = 0.\]

On fournit la formule suivante :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline Équation différentielle &Solutions sur un intervalle I\\
\hline
$y' + ay = 0$ & $y(t) = k\e^{-a t},\quad k \in \R$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Soit $c$ un nombre réel.

On considère la fonction constante $g$ définie sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ par :
\[g(t) = c.\]
Déterminer le réel $c$ pour que la fonction $g$ soit solution de l'équation
différentielle (E).
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item Déterminer l'expression de la fonction $f$ sachant qu'à l'instant $t = 0$ la
température est égale à 250~\textcelsius.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ par :

\[f(t) = 220\e^{-0,25t} + 30.\]

On admet que $f(t)$ représente la température (en degré Celsius) de la plaque d'aluminium
après $t$ minutes de refroidissement.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur approchée à 0,1~\textcelsius{} de la température de la plaque après
un quart d'heure de refroidissement.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Quelle est la conséquence pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Déterminer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Un technicien affirme : \og en cent secondes, la plaque a perdu cent degrés \fg.

A-t-il raison? Quelle est la durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la
température de la plaque passe en dessous de 150~\textcelsius{} ?

Les réponses devront être justifiées.
\item Réaliser sur la copie un croquis donnant l'allure de la courbe représentative
de la fonction $f$. Ce croquis devra également faire apparaître les résultats
des questions \textbf{1} à \textbf{4}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{\large Partie A. Loi exponentielle}

\medskip


On s'intéresse au temps que doit attendre un client pour être servi à la terrasse d'un café.
On admet que ce temps d'attente, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable
aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\begin{enumerate}
\item On sait que le temps d'attente moyen d'un client est égal à $4$ minutes.

Expliquer pourquoi on a alors $\lambda = 0,25$.
\item Décrire par une phrase l'évènement $(T < 3)$ et déterminer sa probabilité, arrondie à $10^{-3}$.
\item Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins $5$ minutes ? Arrondir à $10^{-3}$.
\item Déterminer, à la seconde près, le temps t tel que: $P(T > t) = 0,1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Un café propose des boissons chaudes et des boissons froides, qui peuvent être servies
en terrasse ou en salle.

On dispose des informations suivantes:

\begin{itemize}
\item[\textbullet~] 60\,\% des consommations sont servies en terrasse.

Dans un tiers des cas, il s'agit d'une boisson chaude.
\item[\textbullet~] 40\,\% des consommations sont servies en salle.

Parmi elles, les trois quarts sont des boissons chaudes.
\end{itemize}

On s'intéresse à une consommation choisie au hasard, et on considère les évènements
suivants:
\begin{description}
\item[]$T$ : il s'agit d'une consommation servie en terrasse.
\item[]$C$ : il s'agit d'une boisson chaude.
\end{description}
\begin{enumerate}
\item  Dresser un arbre pondéré représentant la situation.
\item Déterminer la probabilité $P(T\cap C)$.
\item Montrer que la probabilité que la consommation soit une boisson chaude est

égale à $\frac{1}{2}$.
\item Une boisson chaude vient d'être commandée. Un serveur déclare :

\og Elle a davantage de chance d'être servie en salle qu'en terrasse \fg.

Le serveur a-t-il raison ? Justifier la réponse.
\item Les évènements $T$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie C. Intervalle de confiance}

\medskip

La direction d'un café souhaite estimer la proportion $p$ d'étudiants parmi ses clients.
Pour cela, elle interroge un échantillon aléatoire de \np{1000} clients. Dans cet échantillon,
elle compte $525$~étudiants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ d'étudiants.
\item Donner une estimation de la proportion $p$ par un intervalle de confiance avec
le niveau de confiance de 90\,\%.

On fournit la formule suivante:

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|}\hline
Intervalle de confiance d'une proportion avec un niveau de confiance de 90\,\%\\\hline
\raisebox{-1.5ex}[0pt][0pt] {$\left[ f - 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}} ;f + 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$}\\[3ex]\hline
\end{tabular}

\item Le patron du café affirme:

\og La proportion $p$ est obligatoirement contenue dans l'intervalle de confiance. \fg

A-t-il raison ? Justifier.
\item On estime que lorsqu'un étudiant vient au café, sa consommation s'élève en
moyenne à $3,50$~euros.

Chaque mois, le café reçoit \np{5000} clients.

La direction du café décide d'accorder une réduction de 10\,\% aux étudiants.

En supposant que la proportion $p$ est effectivement contenue dans l'intervalle de
con\-fiance, indiquer, sous forme d'un intervalle, le manque à gagner mensuel pour le
café.
\end{enumerate}
\end{document}