\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\setlength{\headheight}{13.59999pt}
\addtolength{\topmargin}{-1.59999pt}
%\usepackage{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {BTS},
%pdftitle = {Métropole 14 mai 2024},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B1}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B1\footnote{
Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries, 
Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation,  Environnement nucléaire, 
Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), 
Traitement des matériaux (2 options), 
Travaux publics}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant.

\medskip

On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage.

\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : 
\[(E) :\quad y' + 0,06y = 2,1,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$  et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle:

\[\left(E_0\right) :\quad  y' + 0,06y = 0.\]

On fournit la formule suivante: 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
\item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$.

Vérifier que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle.

En déduire que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : 
\[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère à nouveau la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par:
\[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\]

On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à
l'issue de $t$ jours de séchage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la résistance du béton après 7 jours de séchage ? Après 72 heures ? 

Arrondir au dixième.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa
fonction dérivée. 

Vérifier que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$, on a :

\[f'(t) =2,1\e^{-0,06t}.\]

\item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~ +\infty[$ et en déduire le sens de variations de $f$
\item Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Le fabricant du béton affirme que la résistance après 28 jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale.

Cette affirmation est-elle juste ?
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.\]

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.\item Déterminer une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la
résistance du béton sur les 28 premiers jours.

On fournit la formule suivante:
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\
$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Algorithme}

\medskip

On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'algorithme ci-dessous et compléter les lignes 3 et 4.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline
Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline
Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline
Ligne 3 &Tant que \ldots\\ \hline
Ligne 4 &\qquad $t\gets$ \ldots\\ \hline
Ligne 5 & \qquad $R \gets -35\e^{-0,06t} +35$\hspace*{1cm}\\ \hline
Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A. Loi normale}

\medskip

Une entreprise produit des tiges métalliques cylindriques.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute tige prélevée au hasard, associe son diamètre exprimé en millimètres.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 3 2$ et d'écart-type $\sigma = 0,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité, arrondie au millième, que le diamètre de la tige prélevée ait
un diamètre compris entre $31$ et $33$ mm.
\item Déterminer, au millième près, le réel $h$ tel que:
\[P(X > 32 - h) = 0,975.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Loi binomiale}

\medskip

Une entreprise dispose de 15 imprimantes fonctionnant indépendamment les unes des autres.

On se place un jour donné.

On considère une imprimante quelconque. La probabilité qu'elle tombe en panne ce
jour est égale à 0,07.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre d'imprimantes qui tombent
en panne ce jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la loi suivie par $Y$, ainsi que ses paramètres et son espérance.
\item Calculer la probabilité qu'exactement 12 imprimantes ne tombent pas en panne ce jour. 

Arrondir au millième.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 3 imprimantes tombent en panne ce jour.

Arrondir au millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Test d'hypothèse}

\medskip

Une entreprise commercialise des blocs de béton de chanvre. Elle affirme que la résistance moyenne $\mu$ de ces blocs est égale à 50 mégapascals (MPa).


Désirant vérifier la validité de cette affirmation, un contrôleur met en place un test d'hypothèse bilatéral.

On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque bloc prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, exprimée en MPa.

La variable aléatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $\sigma = 0,35$.

Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $n$ blocs prélevés dans la production, associe la moyenne des résistances de ces blocs.

On rappelle que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$.

L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $\mu = 50$ \fg.

L'hypothèse alternative $H_1$ est: \og $\mu \ne 50$ \fg.

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

On se place dans le cas où $n = 80$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$, justifier que la variable aléatoire $\overline Z$ suit la loi normale de moyenne $50$ et d'écart-type $0,04$.
\item On souhaite déterminer sous l'hypothèse $H_0$, 
le réel positif $h$ tel que : 
\[P(50 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 50 + h) = 0,95.\]

\emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.}

La valeur du nombre réel $h$ est:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,05 &0,04& 0,08& 0,12\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Le contrôleur a prélevé un échantillon de $80$ blocs.

Les résistances obtenues ont été notées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Résistance mesurée (en MPa) &49,7 &49,8& 49,9& 50& 50,2& 50,4& 50.5\\ \hline
Effectif corres\-pondant& 2 &5 &15 &24 &17 &13 &4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Appliquer le test et conclure.
\end{enumerate}
\end{document}