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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à François Méria pour le sujet
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{16 mai 2017}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 16 mai 2017\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 9 points}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. On considère la courbe plane $\mathcal{C}$ définie
par:

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x(t) &=& 2(\cos t)^3\\
y(t) &=& 2(\sin t)^3
\end{array}\right. \quad t\:\text{ décrivant } \: \R.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que les fonctions $x$ et $y$ sont périodiques de période $2\pi$.

À quel intervalle peut-on réduire l'étude de la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item  Étudier la parité des fonctions $x$  et $y$ sur l'intervalle $[- \pi~;~\pi]$.

Quelle symétrie peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? À quel intervalle peut-on
réduire l'étude de la courbe ?
\item  Exprimer $x(\pi - t)$ et $y(\pi - t)$ en fonction de $x(t)$ et $y(t)$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 

À quel intervalle peut-on alors réduire l'étude ?

\smallskip

On admet de plus que la courbe $\mathcal{C}$ possède une propriété de symétrie par rapport à la
première bissectrice (d'équation $y = x$) et que l'étude peut être réduite sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$.
\item  À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les dérivées $x'(t)$ et $y'(t)$ :

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x' (t) &=& - 6. \sin t. (\cos t)^2\\
y' (t) &=& 6. \cos t. (\sin t)^2
\end{array}\right.\]

Étudier le signe de $x'(t)$ et $y'(t)$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ et en déduire les variations de $x$ et $y$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$.
\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point A, de paramètre $t = \dfrac{\pi}{4}$.

Il est admis que la courbe $\mathcal{C}$ a pour tangente l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ au point M$_0$ de paramètre $t = 0$.

\item On donne : $x''\left(\frac{\pi}{4}\right) = y''\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, montrer que le rayon de courbure à la courbe $\mathcal{C}$
au point A de paramètre $t = v$ est $R = - 3$.

\emph{On rappelle que la courbure algébrique au point de paramètre $t$ est donnée par} :

\[\dfrac{1}{R} = \dfrac{x'y'' - x''y'}{\left(x'^2 + y'^2 \right)^2}.\]

\item Sur le graphique fourni en annexe 1, placer le point A, tracer les deux tangentes de la
question 5. et le cercle osculateur $\Gamma$ au point A en plaçant son centre $\Omega$, sans calcul
mais en laissant apparaître les éléments nécessaires à la construction.

Tracer avec précision la courbe $\mathcal{C}$ sur ce même graphique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 11 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

Soit L la sphère de centre O et de rayon 1, représentée en annexe 2.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On rappelle les formules de base de la trigonométrie sphérique, avec les notations usuelles où\\
$a = \left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OB}}\right)$,\: $b = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}}\right)$ et $c = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$ et A, B et C sont des points de $\sum$.\\
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$\cos a = \cos b . \cos c + \sin b . \sin c . \cos \widehat{\text{A}}$
\item[$\bullet~~$]$\dfrac{\sin a}{\sin \widehat{\text{A}}} = \dfrac{\sin b}{\sin \widehat{\text{B}}} = \dfrac{\sin c}{\sin \widehat{\text{C}}}$
\item[$\bullet~~$]Aire d'un triangle sphérique : $\left(\widehat{\text{A}} + \widehat{\text{B}} + \widehat{\text{C}} - \pi\right) \times R^2$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

On considère le plan $P$ d' équation $x = y$ et le plan $Q$ d'équation $z= \dfrac{1}{2}$.

L'intersection des plans $P$ et $Q$ est une droite. Cette droite coupe la sphère $\sum$ en deux points A et A$_1$. On désignera par A celui des deux points dont la longitude est comprise entre 0 et $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les propositions suivantes, quelles sont les coordonnées sphériques, notées
$\left(r,~\theta_{\text{A}_1},~\varphi_{\text{A}_1}\right)$, du point A$_1$ ? Aucune justification n'est attendue.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\left(1~;~\frac{\pi}{4}~;~- \frac{3\pi}{4} \right)$&\textbf{b.~~}$\left(1~;~\frac{\pi}{6}~;~- \frac{3\pi}{4} \right)$&\textbf{c.~~}$\left(1~;~-\frac{3\pi}{4}~;~- \frac{\pi}{6} \right)$&
\textbf{d.~~}$\left(1~;~-\frac{3\pi}{4}~;~- \frac{\pi}{2} \right)$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes de A$_1$.

On considère aussi le point B de $\sum$ de longitude comprise entre 0 et $\frac{\pi}{2}$, intersection du plan P et du plan équateur et le point C de coordonnées sphériques $(1~;~0~;~0)$.
\item  Placer les points A, B et C sur la figure donnée en annexe 2.

On admet ici que les coordonnées cartésiennes des points A, B et C sont :

\[\text{A}\left(\sqrt{6}/4~;~\sqrt{6}/4~;~1/2\right), \quad \text{B}\left(\sqrt{2}/2~;~\sqrt{2}/2~;~0\right), \quad \text{C}\left(1~;~0~;~0\right).\]

\item  Déterminer les coordonnées sphériques des points A et B.
\item  Dans cette question, on souhaite déterminer les éléments caractéristiques du triangle
sphérique ABC.

On donne $\widehat{\text{C}} \approx 0,68$ à $10^{-2}$ près.
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique déterminer $a$, $c$ et $\widehat{\text{B}}$.
		\item Vérifier que $b \approx 0,91$ à $10^{-2}$ près.
		\item Montrer que $\widehat{\text{A}} \approx 1,11$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On appelle N le point de $\sum$ de coordonnées cartésiennes $(0~;~0~;~1)$.

On considère l'inversion $I$ de pôle N et puissance 4.

\begin{enumerate}[resume]
\item On note $\sum^{*}$ la sphère $\sum$ privée du point N.

L'image de $\sum^{*}$ par l'inversion $I$ est-elle :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}une sphère ?&\textbf{b.~~}un plan ?&\textbf{c.~~}un cercle ?&\textbf{d.~~}une droite ?\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Déterminer une équation cartésienne de l'image de $\sum^{*}$ par l'inversion $I$.
\item  Montrer que l'image A$'$ de A par l'inversion $I$ a pour coordonnées cartésiennes $\left(\sqrt{6}~;~\sqrt{6}~;~- 1\right)$.
\item  On donne les coordonnées cartésiennes des images de B et C par l'inversion $I$ :

\[\text{B}'\left(\sqrt{2}~;~\sqrt{2}~;~- 1\right)\quad \text{ et } \text{C}'\left(2~;~0~;~- 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle sphérique ABC. On arrondira à $10^{-2}$ près.
		\item Calculer l'aire du triangle plan A$'$B$'$C$'$. On arrondira à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 :}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(5.1,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-3)(5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(1,1)
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
%\psgrid
\pscircle(0,0){4.8}
\uput[ul](0,0){O}
\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linewidth=1.5pt](0,0){4.82}{180}{0}}
\scalebox{1}[0.29]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](-0.05,0){4.8}{0}{180}}
\rput{-95}(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linewidth=1.5pt](0,0){4.84}{180}{0}}
\scalebox{1}[0.29]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](-0.05,0){4.8}{0}{180}}}
\psline(0,-6)(0,-4.8)
\psline{->}(0,4.8)(0,6)
\psline[linestyle=dashed](0,-4.8)(0,4.8)
\psline(-6,0.8)(-4.75,0.6)\psline{->}(4.75,-0.6)(6,-0.8)
\psline[linestyle=dashed](-4.75,0.6)(4.75,-0.6)
\psline[linestyle=dashed](-1.5,-1.4)(1.42,1.3)(3.4,3.36)
\uput[dl](-4.4,-4.2){$x$} \uput[d](5.8,-0.8){$y$} \uput[r](0,5.8){$z$} 
\psline{->}(-1.5,-1.4)(-4.5,-4.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}