%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès % Merci à François Méria pour le sujet \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Géomètre-topographe}, pdftitle = {Métropole - 16 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Géomètre topographe}} \rfoot{\small{16 mai 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 16 mai 2017\\ Géomètre topographe}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. On considère la courbe plane $\mathcal{C}$ définie par: \[\left\{ \begin{array}{l c l} x(t) &=& 2(\cos t)^3\\ y(t) &=& 2(\sin t)^3 \end{array}\right. \quad t\:\text{ décrivant } \: \R.\] \begin{enumerate} \item Montrer que les fonctions $x$ et $y$ sont périodiques de période $2\pi$. À quel intervalle peut-on réduire l'étude de la courbe $\mathcal{C}$ ? \item Étudier la parité des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $[- \pi~;~\pi]$. Quelle symétrie peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? À quel intervalle peut-on réduire l'étude de la courbe ? \item Exprimer $x(\pi - t)$ et $y(\pi - t)$ en fonction de $x(t)$ et $y(t)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? À quel intervalle peut-on alors réduire l'étude ? \smallskip On admet de plus que la courbe $\mathcal{C}$ possède une propriété de symétrie par rapport à la première bissectrice (d'équation $y = x$) et que l'étude peut être réduite sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$. \item À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les dérivées $x'(t)$ et $y'(t)$ : \[\left\{ \begin{array}{l c l} x' (t) &=& - 6. \sin t. (\cos t)^2\\ y' (t) &=& 6. \cos t. (\sin t)^2 \end{array}\right.\] Étudier le signe de $x'(t)$ et $y'(t)$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ et en déduire les variations de $x$ et $y$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$. \item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point A, de paramètre $t = \dfrac{\pi}{4}$. Il est admis que la courbe $\mathcal{C}$ a pour tangente l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ au point M$_0$ de paramètre $t = 0$. \item On donne : $x''\left(\frac{\pi}{4}\right) = y''\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, montrer que le rayon de courbure à la courbe $\mathcal{C}$ au point A de paramètre $t = v$ est $R = - 3$. \emph{On rappelle que la courbure algébrique au point de paramètre $t$ est donnée par} : \[\dfrac{1}{R} = \dfrac{x'y'' - x''y'}{\left(x'^2 + y'^2 \right)^2}.\] \item Sur le graphique fourni en annexe 1, placer le point A, tracer les deux tangentes de la question 5. et le cercle osculateur $\Gamma$ au point A en plaçant son centre $\Omega$, sans calcul mais en laissant apparaître les éléments nécessaires à la construction. Tracer avec précision la courbe $\mathcal{C}$ sur ce même graphique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit L la sphère de centre O et de rayon 1, représentée en annexe 2. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On rappelle les formules de base de la trigonométrie sphérique, avec les notations usuelles où\\ $a = \left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OB}}\right)$,\: $b = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}}\right)$ et $c = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$ et A, B et C sont des points de $\sum$.\\ \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$\cos a = \cos b . \cos c + \sin b . \sin c . \cos \widehat{\text{A}}$ \item[$\bullet~~$]$\dfrac{\sin a}{\sin \widehat{\text{A}}} = \dfrac{\sin b}{\sin \widehat{\text{B}}} = \dfrac{\sin c}{\sin \widehat{\text{C}}}$ \item[$\bullet~~$]Aire d'un triangle sphérique : $\left(\widehat{\text{A}} + \widehat{\text{B}} + \widehat{\text{C}} - \pi\right) \times R^2$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip On considère le plan $P$ d' équation $x = y$ et le plan $Q$ d'équation $z= \dfrac{1}{2}$. L'intersection des plans $P$ et $Q$ est une droite. Cette droite coupe la sphère $\sum$ en deux points A et A$_1$. On désignera par A celui des deux points dont la longitude est comprise entre 0 et $\frac{\pi}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les propositions suivantes, quelles sont les coordonnées sphériques, notées $\left(r,~\theta_{\text{A}_1},~\varphi_{\text{A}_1}\right)$, du point A$_1$ ? Aucune justification n'est attendue. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}$\left(1~;~\frac{\pi}{4}~;~- \frac{3\pi}{4} \right)$&\textbf{b.~~}$\left(1~;~\frac{\pi}{6}~;~- \frac{3\pi}{4} \right)$&\textbf{c.~~}$\left(1~;~-\frac{3\pi}{4}~;~- \frac{\pi}{6} \right)$& \textbf{d.~~}$\left(1~;~-\frac{3\pi}{4}~;~- \frac{\pi}{2} \right)$\\ \end{tabularx} \medskip \item Déterminer les coordonnées cartésiennes de A$_1$. On considère aussi le point B de $\sum$ de longitude comprise entre 0 et $\frac{\pi}{2}$, intersection du plan P et du plan équateur et le point C de coordonnées sphériques $(1~;~0~;~0)$. \item Placer les points A, B et C sur la figure donnée en annexe 2. On admet ici que les coordonnées cartésiennes des points A, B et C sont : \[\text{A}\left(\sqrt{6}/4~;~\sqrt{6}/4~;~1/2\right), \quad \text{B}\left(\sqrt{2}/2~;~\sqrt{2}/2~;~0\right), \quad \text{C}\left(1~;~0~;~0\right).\] \item Déterminer les coordonnées sphériques des points A et B. \item Dans cette question, on souhaite déterminer les éléments caractéristiques du triangle sphérique ABC. On donne $\widehat{\text{C}} \approx 0,68$ à $10^{-2}$ près. \begin{enumerate} \item Par lecture graphique déterminer $a$, $c$ et $\widehat{\text{B}}$. \item Vérifier que $b \approx 0,91$ à $10^{-2}$ près. \item Montrer que $\widehat{\text{A}} \approx 1,11$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} On appelle N le point de $\sum$ de coordonnées cartésiennes $(0~;~0~;~1)$. On considère l'inversion $I$ de pôle N et puissance 4. \begin{enumerate}[resume] \item On note $\sum^{*}$ la sphère $\sum$ privée du point N. L'image de $\sum^{*}$ par l'inversion $I$ est-elle : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}une sphère ?&\textbf{b.~~}un plan ?&\textbf{c.~~}un cercle ?&\textbf{d.~~}une droite ?\\ \end{tabularx} \medskip \item Déterminer une équation cartésienne de l'image de $\sum^{*}$ par l'inversion $I$. \item Montrer que l'image A$'$ de A par l'inversion $I$ a pour coordonnées cartésiennes $\left(\sqrt{6}~;~\sqrt{6}~;~- 1\right)$. \item On donne les coordonnées cartésiennes des images de B et C par l'inversion $I$ : \[\text{B}'\left(\sqrt{2}~;~\sqrt{2}~;~- 1\right)\quad \text{ et } \text{C}'\left(2~;~0~;~- 1\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle sphérique ABC. On arrondira à $10^{-2}$ près. \item Calculer l'aire du triangle plan A$'$B$'$C$'$. On arrondira à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 1} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \end{center} \textbf{Exercice 1 :} \bigskip \begin{center} \psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(5.1,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-3)(5,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(1,1) \end{pspicture*} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 2} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \end{center} \textbf{Exercice 2 :} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-6,-6)(6,6) %\psgrid \pscircle(0,0){4.8} \uput[ul](0,0){O} \scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linewidth=1.5pt](0,0){4.82}{180}{0}} \scalebox{1}[0.29]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](-0.05,0){4.8}{0}{180}} \rput{-95}(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linewidth=1.5pt](0,0){4.84}{180}{0}} \scalebox{1}[0.29]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](-0.05,0){4.8}{0}{180}}} \psline(0,-6)(0,-4.8) \psline{->}(0,4.8)(0,6) \psline[linestyle=dashed](0,-4.8)(0,4.8) \psline(-6,0.8)(-4.75,0.6)\psline{->}(4.75,-0.6)(6,-0.8) \psline[linestyle=dashed](-4.75,0.6)(4.75,-0.6) \psline[linestyle=dashed](-1.5,-1.4)(1.42,1.3)(3.4,3.36) \uput[dl](-4.4,-4.2){$x$} \uput[d](5.8,-0.8){$y$} \uput[r](0,5.8){$z$} \psline{->}(-1.5,-1.4)(-4.5,-4.2) \end{pspicture} \end{center} \end{document}