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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à François Méria pour le sujet
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{23 mai 2016}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2016\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 10 points}

\medskip

PARTIE A : Étude d'une courbe du plan.

Le plan $(x\text{O}y)$ est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère la courbe $\left(L_1\right)$ définie par la représentation paramétrique

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& \cos(t)\\
y(t) &=& \sin(2t)
\end{array}\right.
 t \:\text{décrivant }\:\: \R.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut restreindre l'étude de la courbe $\left(L_1\right)$ à l'intervalle 
$[0~;~\pi]$.

On précisera la transformation géométrique à utiliser.
\item Exprimer $x(\pi - t)$ et $y(\pi - t)$ respectivement en fonction de $x(t)$ et $y(t)$.

En déduire un nouvel intervalle d'étude et la transformation géométrique à utiliser.
\item Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$ sur $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$.

Dresser le tableau des variations.
\end{enumerate}

On note A, B et C les points de la courbe $\left(L_1\right)$ de paramètres respectifs $0,\: \frac{\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de chacune des tangentes à la courbe $\left(L_1\right)$ aux points A, B et C.
\item[\textbf{5.}] Dans le repère orthonormé fourni en annexe 1, construire la courbe $\left(L_1\right)$.

On veillera à placer les points A, B et C et à représenter les tangentes en ces points.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Étude d'une courbe de l'espace}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On considère la courbe $(L)$ définie par la représentation paramétrique:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& \cos (t)\\
y(t) &=& \sin (2t)\\
z(t) &=& \sin (t)
\end{array}\right.\:t\: \text{décrivant }\:\R.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $[x(t)]^2 + [z(t)]^2$

		\item En déduire que la courbe $(L)$ est tracée sur un cylindre dont on précisera l'axe et le rayon.
		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la courbe $\left(L_2\right)$ obtenue par projection de la courbe $(L)$ sur le plan $(x\text{O}z)$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que la courbe $\left(L_1\right)$ de la partie A est obtenue par projection de la courbe $(L)$ dans le plan $(x\text{O}y)$.
\item À partir de la représentation graphique obtenue sur la calculatrice, tracer sur l'annexe 1, à
rendre avec la copie, l'allure de la courbe $\left(L_3\right)$ obtenue par projection de la courbe $(L)$ dans le plan $(y\text{O}z)$. Aucune justification n'est demandée.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A : Trigonométrie sphérique}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

Sur la sphère de centre O et de rayon 100, on considère les points A, B et C définis par leur
longitude $\theta$ et leur latitude $\varphi$ :

\[\text{A}(\theta_{\text{A}} = 0~;~\varphi_{\text{A}} = 0),\quad  \text{B}\left(\theta_{\text{B}} = 0~;~\varphi_{\text{B}} = \frac{\pi}{6}\right)\quad  \text{et C}\left(\theta_{\text{C}} = \frac{\pi}{4}~;~\varphi_{\text{C}} = 0\right)\]

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On rappelle les formules de base de la trigonométrie sphérique, avec les notations usuelles, et en
posant $a = \left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}}\right),\:b = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}}\right)$ et $c = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$ :\\
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\cos a = \cos b . \cos c + \sin b . \sin c . \cos \widehat{\text{A}}$
\item[$\bullet~~$]$ \dfrac{\sin a}{\sin \widehat{\text{A}}} =  \dfrac{\sin b}{\sin \widehat{\text{B}}} = \dfrac{\sin c}{\sin \widehat{\text{C}}}$
\item[$\bullet~~$] Aire d'un triangle sphérique : $\left(\widehat{\text{A}} + \widehat{\text{B}} + \widehat{\text{C}} - \pi\right) \times R^2$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C sur la sphère fournie en annexe 2, puis tracer le triangle sphérique
ABC.
\item Déterminer les coordonnées cartésiennes des points A, B et C.
\item Déterminer les valeurs exactes des angles $b$ et $c$ ainsi que celle de l'angle $\widehat{\text{A}}$ du triangle sphérique ABC.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\cos a = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
		\item En déduire une valeur approchée à 0,01 près de $a$ en radian et de l'arc $\wideparen{\text{BC}}$ en unité de longueur.
	\end{enumerate}
\item  Calculer les mesures des angles $\widehat{\text{B}}$  et $\widehat{\text{C}}$ , arrondis au centième de radian.
\item  Calculer l'aire du triangle sphérique à l'unité d'aire près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Vrai ou faux}

\medskip

\emph{Pour chacune des situations suivantes, on a formulé une affirmation. Dans chaque cas, dire si
l'affirmation est vraie ou fausse en justifiant. \\Une réponse non justifiée n'apporte pas de point.
Toute argumentation pertinente, même partielle, sera valorisée.}

\medskip

\textbf{Situation 1 :}

Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct \Oijk, on considère le plan $P$ d'équation
$2x - 3y + 2z - 1 = 0$ et les points A(1~;~2~;~0) et B(1~;~0~;~0).

Affirmation 1 : \og La droite (AB) est sécante avec le plan P.\fg

\textbf{Situation 2 :}

Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct \Oijk, on considère la sphère $\sum$ de centre O
et de rayon 1. On appelle $I$ l'inversion de pôle P$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}~;~0~;~\frac{1}{2}\right)$ et de puissance 2.

Affirmation 2 : \og L'inverse de la sphère $\sum$ par $I$ est un plan passant par O.\fg

\textbf{Situation 3 :}

Dans un repère orthonormé direct du plan, on considère la courbe $\Gamma$ définie par son équation
polaire : $\rho(\theta) = (1 - \sin \theta) . \cos \theta$ où $\theta \in \R$.

Affirmation 3 : \og La courbe $\Gamma$ admet une tangente horizontale au point de paramètre $\theta = 0$ \fg

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\medskip

\begin{flushleft}

Exercice 1 Partie A
\end{flushleft}
\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.25)(2,1.65)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5](-2,-1.25)(2,1.65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-2,-1.25)(2,1.65)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\bigskip

\begin{flushleft}
Exercice 1 Partie B
\medskip
\end{flushleft}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.25)(2,1.65)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-2,-1.25)(2,1.65)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{k}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\newpage

\textbf{ANNEXE 2}

\medskip
\begin{flushleft}
Exercice 2 :

Partie A
\end{flushleft}

\psset{unit=1cm,arrowsize=4pt 5}
\begin{pspicture*}(-6,-6.5)(6,6.5)
\uput[ul](0,0){O}
\pscircle(0,0){5.2}
\psline(-6,1.2)(-5.1,1.02)
\psline[linestyle=dashed](-5.1,1.02)(4.3,-0.84)
\psline{->}(4.3,-0.84)(6,-1.2)
\psline[linestyle=dashed](3.7,3.64)(-1.5,-1.44)
\psline{->}(-1.5,-1.44)(-5,-4.9)
\psline(0,-6.5)(0,-5)
\psline[linestyle=dashed](0,-5)(0,5)
\psline{->}(0,5)(0,6.5)
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1pt](0,0){5.2}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){5.2}{0}{180}}%
\rput{-95}(0,0)
{
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1pt](0,0){5.2}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0){5.2}{0}{180}}
}
\rput(-5,-4.6){$x$}\rput(5.8,-1.4){$y$}\rput(-0.3,6.3){$z$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}