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%Tapuscrit : Denis Vergès et Yves Monceaux
% Merci à Yves Moncheaux pour le sujet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{28 mai 2000}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2000\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 6 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.

L'unité de mesure d'angle est le radian.

Sur une sphère de centre O :

\begin{itemize}
\item deux points A et B déterminent l'arc $\widearc{\text{AB}}$ sur le grand cercle passant par A et B ;
\item trois points A, B, C déterminent les arcs $\widearc{\text{AB}},\: \widearc{\text{BC}},\: \widearc{\text{CA}}$ qui constituent le \og triangle sphérique \fg{} ABC.
\end{itemize}
 
Avec les notations usuelles : 
 
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item $a$ désigne la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOC}}$ ; 
\item $A$ désigne la mesure de l'angle formé par les tangentes en A aux arcs $\widearc{\text{AB}}$ et $\widearc{\text{AC}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle la formule : $\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A(1~;~1~;~1) et B$\left(0~;~\sqrt{3}~;~0\right)$.

Déterminer une équation de la sphère (S), de centre O, passant par A.

Justifier que B appartient à (S).

Calculer  $\cos \widehat{\text{AOB}}$ et $\sin \widehat{\text{AOB}}$.
\item Soit $r$ une rotation d'axe (OB) et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Déterminer l'image de (S) par $r$ et en déduire que l'image C du point A par $r$ est un point  de (S).

Quelle est l'image par $r$ de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ ?

Que peut-on en déduire :

\begin{itemize}
\item pour la mesure d'angle $B$;
\item pour $a$ et $c$, côtés du triangle sphérique ?
\end{itemize}

Calculer $b,\: A$ et $C$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 14 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij. (unité 1~cm).

Soit $I$ l'inversion de pôle O et de puissance $- 9$.

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre $\left[\text{A}_1\text{A}_2\right]$ avec A$_1(-1~;~0)$ et A$_2(9~;~0)$.

Déterminer $I\left(A_1\right)$ et $I\left(A_2\right)$.

Montrer que $(\mathcal{C})$ est globalement invariant par $I$.
\item Soit $(\mathcal{E})$ la conique d'équation $\dfrac{(x-4)^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Reconnaître la nature de $(\mathcal{E})$. Préciser l'axe focal et les sommets de cette conique.

Déterminer les points d'intersection C et D de $(\mathcal{E})$ avec l'axe des ordonnées.
\item Représenter $(\mathcal{E})$ et $(\mathcal{C})$ sur un même dessin.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

Soit $(\mathcal{K})$ la courbe d'équation polaire $\rho(\theta) = 5 + 4 \cos \theta$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tracer $(\mathcal{K})$ on peut d'abord se restreindre à prendre $\theta$ dans l'intervalle $[0~;~\pi]$.
\item Étudier le sens de variation de $\rho$ sur $[0~;~\pi]$.

Préciser les tangentes à $(\mathcal{K})$ aux points correspondant à $\theta = 0$ et $\theta = \pi$.
\item Tracer $(\mathcal{K})$ sur le même dessin que $(\mathcal{E})$ et $(\mathcal{C})$.

(On placera les points de $(\mathcal{K})$ correspondant à $\theta = \dfrac{\pi}{3},\: \theta = \dfrac{\pi}{2},\: \theta = \dfrac{2\pi}{3}$). 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

Soit $M$ un point du plan et $(r~;~\theta)$ un couple de coordonnées polaires de ce point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, en fonction de $\rho$ et $\theta$, les coordonnées cartésiennes de $M$.
\item $M(\rho~;~\theta)$ est maintenant un point de $(\mathcal{E})$.

Vérifier que $\rho$ et $\theta$  sont tels que $[4r \cos \theta + 9]^2= 25 r^2$.

En déduire que soit $r = r_1(\theta)= \dfrac{- 9}{5 + 4\cos \theta}$, soit $r = r_2(\theta)= \dfrac{9}{5 - 4\cos \theta}$.

Dans le premier cas, comment peut-on, géométriquement, traduire la relation entre points de
$(\mathcal{E})$ et $(\mathcal{K})$ ayant un même angle polaire $\theta$ ?

\end{enumerate}
\end{document}