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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{Nouvelle Calédonie novembre 2014}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2014\\Nouvelle Calédonie Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 GÉOMÉTRIE SPHÉRIQUE \hfill 10 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

On note $\Sigma$ la sphère de centre O et de rayon 1. On fournit en \textbf{annexe 1} une représentation de $\Sigma$.

Tout point de $\Sigma$ est repéré par sa longitude $\theta$ et sa latitude $\varphi$ exprimées en radians.

\medskip

\textbf{Triangle sphérique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire une équation cartésienne de la sphère $\Sigma$.
\item On considère le point D de la sphère $\Sigma$ défini par sa longitude $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ et sa latitude $\varphi =  \dfrac{\pi}{4}$. Calculer ses coordonnées cartésiennes.
\item On considère les points A, B, C déterminés par leurs coordonnées cartésiennes :
\[\text{A}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~0\right),\quad  \text{B}(0~;~1~;~0)\quad \text{et\: C}\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C sont des points de la sphère $\Sigma$.
		\item Donner la longitude et la latitude de chacun des points A, B et C.
		\item Placer les points A, B, C et D sur la figure donnée en \textbf{annexe 1}.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse au triangle sphérique ABC. On utilisera les notations usuelles $\widehat{\text{A}}, \widehat{\text{B}}, \widehat{\text{C}},\: a,\: b$ et $c$ pour désigner les angles caractéristiques du triangle sphérique.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $a,\: c$ et $\widehat{\text{B}}$.
		\item Déterminer les valeurs arrondies à $10^{-3}$ de $b$ et $\widehat{\text{A}}$.
		\item On donne $\widehat{\text{C}} \approx 0,857$. Déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire du triangle sphérique ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Inversion}

\medskip

On rappelle que l'image $M'$ d'un point $M$ par l'inversion de pôle $\Omega$ et de rapport $k$ est définie
par : 

\[\vect{\Omega M'}  = \dfrac{k}{\Omega M^2} \vect{\Omega M}.\]

On considère $I$ l'inversion de pôle B et de puissance 1.

\medskip

\begin{enumerate}[start=5]
\item Déterminer la nature de $P$, image de la sphère $\Sigma$, privée du point B, par l'inversion $I$.
\item Donner une équation de $P$.
\item Quelles sont les images des points C et D par l'inversion $I$ ?
\item Montrer que le point A$'\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}}~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ est l'image du point A par l'inversion $I$.
\item On considère la droite $\Delta :\:\: \left\{\begin{array}{l c l}
y &=& \frac{1}{2}\\
z &=& 0
\end{array}\right.$

Montrer que l'image de la droite $\Delta$ par l'inversion $I$ est le grand cercle passant par les
points A et B et privé du point B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  ÉTUDE D'UNE ÉPICYCLOÏDE \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. On considère la courbe $\mathcal{C}$ définie par :
{
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& 3 \cos(t) - \cos (3t)\\
y(t) &=& 3 \sin(t) - \sin (3)t
\end{array}\right. \quad  t\:\:\: \text{décrivant} \: \R.\]

On note $M(t)$ le point de coordonnées $(x(t)~;~y(t))$ de $\mathcal{C}$.

Le but de cet exercice est d'étudier et de tracer la courbe $\mathcal{C}$.

\medskip

\textbf{Détermination de l'intervalle d'étude}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des points $M(t + 2\pi)$ et $M(t)$ ?
À quel intervalle peut-on restreindre l'étude de $\mathcal{C}$ ?
\item Pour $t \in [- \pi~;~\pi]$, que peut-on dire des points $M(- t)$ et $M(t)$ ?

À quel intervalle peut-on restreindre l'étude de $\mathcal{C}$ ?
\item Calculer $x(\pi - t)$ et $y(\pi - t)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item On nomme $\mathcal{C}_1$ la courbe décrite par $M(t)$ lorsque $t$ décrit l'intervalle $I = \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Comment la courbe $\mathcal{C}$ se déduit-elle de la courbe $\mathcal{C}_1$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Étude de $\mathcal{C}_1$ pour $ t \in  I = \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$}

\medskip

\begin{enumerate}[start=5]
\item Calculer $x'(t)$ et $y'(t)$ pour $ t \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item On admet que $x'(t)$ et $y'(t)$ se factorisent de la façon suivante :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'(t) &=& 6 \sin(t) \cos(2t)\\
y' Ct) &=& 6 \sin(t) \sin (2t)
\end{array}\right.\]

Étudier le signe de $x'(t)$ et $y'(t)$ pour $t \in I$ puis dresser le tableau de variations complet
des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $I$.
\item En admettant que la tangente au point $M(0)$ est horizontale, préciser les autres points de
$\mathcal{C}_1$ ayant des tangentes parallèles aux axes de coordonnées.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Cercle de courbure en un point de }\boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}[start=8]
\item On admet que le rayon de courbure au point A de $\mathcal{C}$ de paramètre $t = \dfrac{\pi}{2}$ est égal à 3.

On note $\Gamma$ le cercle de courbure au point A.

Montrer que $- \vect{\imath}$ est un vecteur unitaire directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point A.
\item Préciser le vecteur unitaire $\vect{n}$ tel que le repère $\left(\text{A}~;~ - \vect{\imath},~\vect{n}\right)$ soit orthonormal direct.

En déduire que le cercle $\Gamma$ pour centre $\Omega(0~;~1)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Tracé de la courbe}

\medskip

\begin{enumerate}[start=10]
\item Dans le repère orthonormé \Oij{} donné en annexe 2 :
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A,\: $M(0)$ et $M\left(\frac{\pi}{4}\right)$, et représenter les tangentes à $\mathcal{C}$ en ces points.
		\item Tracer le cercle $\Gamma$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$. Utiliser une couleur différente pour la partie $\mathcal{C}_1$ de la courbe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\large{\textbf{Annexe 1 : à rendre avec la copie}}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-5)(6.6,6.5)
%\psgrid
\psline(-6.4,0.7)(-4.2,0.5)\psline[linestyle=dotted](-4.2,0.5)(4,-0.4)\psline{->}(4,-0.4)(6.5,-0.7)
\psline(0,-4.8)(0,-4.2)\psline[linestyle=dotted](0,-4.2)(0,4)\psline{->}(0,4)(0,6.3)
\psline[linestyle=dotted](2.55,2)(-1.35,-1.1)\psline{->}(-1.35,-1.1)(-2.4,-2)
\pscircle(0,0){4.2}
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\rput(-2.6,-2.1){$x$}\rput(6.5,-1){$y$}
\rput(0.2,6.2){$z$}\rput(-0.2,0.2){O}
\end{pspicture*}
\newpage

\large{\textbf{Annexe 2 : à rendre avec la copie}}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-4.6,-4.1)(5,4.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8](-4.5,-4)(5,4.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.5,-4)(5,4.3)
\uput[d](4.9,-0.1){$x$} \uput[l](-0.1,4.3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\end{center}


\end{document}