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%Tapuscrit : Denis Vergès et Yves Monceaux
% Merci à Yves Moncheaux pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS Géomètre-topographe},
pdftitle = {Métropole  -  28 mai 2015},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{28 mai 2015}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2015\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni du repère orthonormé direct \Oij. Tout point $M$ du plan, distinct du point O, peut être repéré par un système de coordonnées polaires $(\rho,~\theta)$ tel que $\vect{\text{O}M} = \rho \vect{u_{\theta}}$ où $\rho  = \text{O}M$  et $\vect{u_{\theta}}$ est un vecteur unitaire.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'une cardioïde}

\medskip

On considère la courbe $\mathcal{F}$ définie par son équation polaire :

\[ \rho(\theta) = 1 + 2 \cos \theta\quad  \text{où} \:\: \theta \in  \R.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut réduire l'étude à l'intervalle $[0~;~\pi]$. On précisera les transformations géométriques à opérer pour obtenir toute la courbe.
\item Etudier les variations de la fonction $\rho$ sur $[0~;~\pi]$.
\item Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe pour $\theta$ égale à $0, \pi/3, \pi/2, 2\pi/3$ et $\pi$.
\item Déterminer le rayon de courbure de la courbe $\mathcal{F}$ au point D de paramètre $\theta = 2\pi/3$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
On rappelle la formule : $R = \dfrac{\left(\rho^2 + \rho'^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\rho^2 + 2\rho'^2 -  \rho\rho''}$\rule[-4mm]{0mm}{12mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Les points A, B, C, D et E sont les points d'angle polaire respectif $0$, $\pi/3$, $\pi/2$, $2\pi/3$ et $\pi$.

Tracer la courbe $\mathcal{F}$ avec ses tangentes en A, B, C, D et E ainsi que le cercle osculateur $\Gamma$  à $\mathcal{F}$ au point D.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Inverse de la cardioïde}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On rappelle que l'image $M'$ d'un point $M$ par l'inversion de pôle $\Omega$ et de puissance $k$ est définie par\\
\multicolumn{1}{|c|}{$\vect{\Omega M'} = \dfrac{k}{\Omega M^2}\vect{\Omega M}$.\rule[-3mm]{0mm}{5mm}}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On considère I, l'inversion de pôle O et de puissance 3.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées cartésiennes des points A et B.
		\item Déterminer les coordonnées cartésiennes des points A$'$ et B$'$, images respectives de A et B par I.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la nature de $\Gamma'$, image du cercle osculateur $\Gamma$ en D.
	
On appelle $\mathcal{H}$ la courbe, image de $\mathcal{F}$ par l'inversion I.
	
On admet que $\mathcal{H}$ est une hyperbole dont $\Gamma'$ est une asymptote qui peut être définie par une équation polaire $\rho = f(\theta)$ telle que $f(- \theta) = f(\theta)$.
\item Reconnaître parmi les quatre représentations graphiques suivantes la courbe $\mathcal{H}$. On ne demande pas de justification.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=4mm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-7.5,-9.8)(8,10)
\psaxes[Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-7.5,-9)(8,10)
\parametricplot{0}{6.28}{(3*cos(t))/(1+2*cos(t))-2|(3*sin(t))/(1+2*cos(t))+3.46}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}
\rput(0,-9.4){Figure 1}
\end{pspicture*}
\hfil
\begin{pspicture*}(-4.5,-9.8)(8,10)
\psaxes[Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-6.2,-9)(8,10)
\parametricplot{0}{6.28}{(3*cos(t))/(1+2*cos(t))|(3*sin(t))/(1+2*cos(t))}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}
\rput(2,-9.4){Figure 2}
\end{pspicture*}

\bigskip

\begin{pspicture*}(-4.5,-9.8)(8,10)
\psaxes[Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-6.2,-9)(8,10)
\parametricplot{0}{6.28}{2+tan(t)|1.732/(cos(t))}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}
\rput(2,-9.4){Figure 3}
\end{pspicture*}
\hfil
\begin{pspicture*}(-9,-9.8)(8,10)
\psaxes[Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-9,-9)(8,10)
\parametricplot{0}{6.28}{tan(t)|3.46+1.732/(cos(t))}
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}
\rput(0,-9.4){Figure 4}
\end{pspicture*}





%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-7.,-7.)(7.,10.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.,-7.)(7.,10.)
%\uput[dl](0,0){O}
%\rput{0.}(0.,3.6){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.*(1+t^2)/(1-t^2)|1.8*2*t/(1-t^2)}}
%\rput{0.}(0.,3.6){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.*(-1-t^2)/(1-t^2)|1.8*(-2)*t/(1-t^2)}}
%\psplot{-7}{11.1768057527}{(--3.6--1.8*x)/1.}
%\psplot{-7}{11.1768057527}{(--3.6-1.8*x)/1.}
%\end{pspicture*}&
%\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-4,-8.)(8.,8.1)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-7.9)(8.,8.1)
%\uput[dl](0,0){O}
%\rput{0.}(2.,0.){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.*(1+t^2)/(1-t^2)|1.8*2*t/(1-t^2)}}
%\rput{0.}(2.,0.){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.*(-1-t^2)/(1-t^2)|1.8*(-2)*t/(1-t^2)}}
%\psplot{-4}{8.}{(-3.6--1.8*x)/1.}
%\psplot{-4}{8.}{(--3.6-1.8*x)/1.}
%\end{pspicture*}\\
%Figure 1& Figure 2\\
%\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-4.,-10.)(8.,10.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-8.,-9.9)(8.,10.)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot{-8.}{8.}{(-3.8--1.9*x)/1.}
%\psplot{-8.}{8.}{(--3.8-1.9*x)/1.}
%\rput{90.}(2.,0.){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.9*(1+t^2)/(1-t^2)|1.*2*t/(1-t^2)}}
%\rput{90.}(2.,0.){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.9*(-1-t^2)/(1-t^2)|1.*(-2)*t/(1-t^2)}}
%\end{pspicture*}&
%\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-7,-10.)(7,10.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-8.,-9.9)(8.,10.)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot{-8.}{8.}{(--3.4--1.7*x)/1.}
%\psplot{-8.}{8.}{(--3.4-1.7*x)/1.}
%\rput{90.}(0.,3.8){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.8*(1+t^2)/(1-t^2)|1*2*t/(1-t^2)}}
%\rput{90.}(0.,3.8){\parametricplot{-0.99}{0.99}{1.8*(-1-t^2)/(1-t^2)|1*(-2)*t/(1-t^2)}}
%\end{pspicture*}\\
%Figure 3& Figure 4\\
%\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Cette partie propose un QCM. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse exacte rapporte un point. \\
L'absence de réponse, une réponse inexacte ou plusieurs réponses
n'apportent ni n'enlèvent aucun point.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\emph{Reporter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère la sphère (S) de centre O
et de rayon 1 ainsi que le plan (P) d'équation cartésienne $z = \frac{1}{2}$.

Le cercle intersection de (S) et (P) a pour centre et rayon :
	\begin{enumerate}
		\item Le point de coordonnées $\left(\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}~;~0\right)$ et de rayon $1$
		\item Le point de coordonnées $\left(0~;~\frac{1}{2}~;~0\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{3}}{2}$
		\item Le point de coordonnées $\left(0~;~0~;~\frac{1}{2}\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{3}}{2}$
		\item Le point de coordonnées $\left(0~;~0~;~\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et de rayon $\frac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la série statistique suivante :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur&6&7&9&15&16&18\\ \hline
Effectif&1&6&5&1&2&7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le couple (moyenne~;~écart-type) arrondi à $0,01$ près est :
	\begin{enumerate}
		\item (3,64; 2,34)
		\item (12,09; 4,88)
		\item (12,09; 3,42)
		\item (9,57; 4,88)
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé du plan, la conique d'équation réduite 

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item Une parabole
		\item Une ellipse
		\item Une hyperbole
		\item Un couple de droites sécantes
	\end{enumerate}
\item La conique de la question \textbf{3.} admet pour foyer F. Les coordonnées de F sont :
	\begin{enumerate}
		\item (0~;~4)
		\item (4~;~0)
		\item $(0~;~\sqrt{34})$
		\item $(\sqrt{34}~;~0)$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

En \textbf{annexe}, on donne une représentation en perspective de la sphère $\Sigma$ de centre O et de rayon 1 (figure 1) qui sera rendue avec la copie.

\medskip

On se place sur la sphère $\Sigma$ sur laquelle tout point $M$ peut être repéré par ses coordonnées sphériques
$\left(R~;~\theta~;~\varphi\right)$ où $R = \text{O}M$, $\theta$ est la longitude et $\varphi$ est la latitude du point $M$.

Les réponses seront éventuellement arrondies à $10^{-3}$ près.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\emph{On rappelle les formules de base de la trigonométrie sphérique :}\\
$\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \widehat{A}$\\
$\dfrac{\sin a}{\sin \widehat{A}} = \dfrac{ \sin b}{\sin \widehat{B}} = \dfrac{\sin c}{\sin \widehat{C}}$\\
Aire d'un triangle sphérique : $\left(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} - \pi \right)R^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère les points A, B, C et D de la sphère déterminés par leurs coordonnées sphériques :


\[\text{A}(1~;~0~;~0),\quad  \text{B}\left(1~;~0~;~\frac{\pi}{4}\right),\quad  \text{C}\left(1~;~\frac{\pi}{3}~;~\frac{\pi}{4}\right)\quad  \text{et\:\: D}\left(1~;~\frac{2\pi}{3}~;~\frac{\pi}{4}\right)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points sur la figure donnée en annexe.
\item Donner les coordonnées cartésiennes des points A et C. 
\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{OA}} \cdot \vect{\text{OC}}$. En déduire la longueur de l'arc $\widearc{\text{AC}}$.
\item Déterminer les deux autres longueurs du triangle sphérique ABC.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'angle $\widehat{B}$ du triangle sphérique ABC.
		\item Expliquer pourquoi l'angle $\widehat{B}$ n'est pas égal à $\frac{\pi}{2}$, alors que A et B sont sur le même méridien et B et C sont sur le même parallèle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'angle $\widehat{C}$ du triangle sphérique ACD.
		\item Les points A, C et D sont-ils sur le même grand cercle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 1}\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nom du point&A 	& B	 			& C 			& D 				& E\\ \hline
$\theta$	&0	&$\dfrac{\pi}{3}$&$\dfrac{\pi}{2}$&$\dfrac{2\pi}{3}$&$\pi$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
$\rho'$		&	&				&				&					&\\ \hline
$\rho$		&	&				&				&					&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 2 : représentation en perspective de l'exercice 2, partie B}\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(-6,-5.5)(6,5.5)
\pscircle(0,0){4.75}
\scalebox{.999}[0.3]{
      \psarc[linewidth=1.2pt](0,0){4.75}{180}{0}}%
\scalebox{.999}[0.3]{\psarc[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0){4.75}{0}{180}}%
\rput{85}(0,0){\scalebox{.999}[0.3]{
      \psarc[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0){4.75}{180}{0}}%
\scalebox{.999}[0.3]{\psarc[linewidth=1.2pt](0,0){4.75}{0}{180}}}
\psline(0,-5.75)(0,-4.75)\psline{->}(0,4.75)(0,5.75)
\psline[linestyle=dashed](0,-4.75)(0,4.75)
\psline(-6,1)(-4.7,0.8)\psline[linestyle=dashed](-4.7,0.8)(4.7,-0.8)
\psline{->}(4.1,-0.698)(6,-1)
\rput(0,-6){Figure
      1}
\psline[linestyle=dashed](3.4,3.25)(-1.4,-1.34)
\rput(-0.3,5.5){$z$}\rput(5.8,-1.2){$y$}
      \rput(-4.8,-4.2){$x$}
\psline{->}(-1.4,-1.34)(-4.6,-4.35)
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture}
%\begin{pspicture}(-6,-5.5)(6,5.5)
%%\psgrid
%\pscircle(0,0){4.75}
%\scalebox{.999}[0.3]{ \psarc[linewidth=1.2pt](0,0){4.75}{180}{0}}%
%\scalebox{.999}[0.3]{\psarc[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0){4.75}{0}{180}}%
%\rput{85}(0,0){\scalebox{.999}[0.3]{ \psarc[linewidth=1.2pt](0,0){4.75}{180}{0}}%
%\scalebox{.999}[0.3]{\psarc[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed](0,0){4.75}{0}{180}}}
%\psline(0,-5.75)(0,-4.75)\psline{->}(0,4.75)(0,5.75)
%\psline[linestyle=dashed](0,-4.75)(0,4.75)
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%\psline{->}(4.7,-0.8)(6,-1)
%\rput(0,-6){Figure 1}
%\psline[linestyle=dashed](3.4,3.25)(-3.4,-3.25)
%\rput(-0.3,5.5){$z$}\rput(5.8,-1.2){$y$} \rput(-4.8,-4.2){$x$}
%\psline{->}(-3.4,-3.25)(-4.6,-4.35)
%\uput[ul](0,0){O}
%\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}