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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à François Meria pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{28 mai 2014}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2014\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 9 points}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, on considère la courbe $\mathcal{C}$ définie par la représentation paramétrique :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& 1 + \cos (2t)\\ 
t(t) &=& \sin (3t)
\end{array}\right.\:\: 	\text{o\`u}\:\: t \in  \R.\] 

On note $M(t)$ le point de paramètre $t$.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item \textbf{Réduction de l'intervalle d'étude} 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'on obtient toute la courbe $\mathcal{C}$ pour $t$ décrivant l'intervalle $I_{0} = [-r\pi~;~\pi]$. 
		\item Que peut-on dire de $M(t)$ et $M(- t)$ ? Proposer un intervalle d'étude $I_{1}$ inclus dans $I_{0}$. 
		\item Que peut-on dire de $M(t)$ et $M(\pi - t)$ ? Proposer un intervalle d'étude $I_{2}$ inclus dans $I_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Tracé de la courbe}
 
On étudie la courbe pour $t \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe des fonctions $x'$ et $y'$ dérivées respectives des fonctions $x$ et $y$ pour $t \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$; 

Compléter le tableau des variations conjointes de ces fonctions donné en annexe. 
		\item On note A, B, C et D les points de paramètres respectifs $0\:;\: \dfrac{\pi}{6}\:;\:\dfrac{\pi}{3}\:;\:\dfrac{\pi}{2}$.

Compléter par des valeurs exactes le tableau donné en annexe. 
		\item Placer les points A, B, C et D dans le repère donné en annexe. 

En admettant que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point D est dirigée par le vecteur de coordonnées $(4~;~9)$, représenter les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A, B et D. 
		\item On admet que les dérivées secondes des fonctions $x$ et $y$ sont données par: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x''(t) &=& - 4 \cos (2t)\\
y''(t) &=& - 9 \sin (3t)
\end{array}\right.\] 

Montrer que le rayon de courbure de $\mathcal{C}$ au point B de paramètre $\dfrac{\pi}{6}$ est égal à $\dfrac{1}{3}$. 

On rappelle que le rayon de courbure est donné par la formule :

\[R = \dfrac{\left(x'^2 + y'^2\right)^{3/2}}{x'y'' - x''y'}.\]  
   
		\item Tracer le cercle osculateur à la courbe au point B puis tracer la courbe complète dans le repère fourni en annexe.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 11 points}

\begin{center}	

\textbf{Les parties I et II sont indépendantes}\end{center}
 
\textbf{Partie I}

\medskip
 
\emph{Cette partie propose un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chacune des questions, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse juste rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\
\medskip 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip
 
\textbf{A.} Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, on considère la courbe $\Gamma$ d'équations paramétriques :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=&2 \cos (t)\\ 
y(t) &=&3 \sin (t)
\end{array}\right.\: \text{avec } \: t \in \R.\]

La courbe $\Gamma$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} un cercle& 
\textbf{b.~~} une ellipse& 
\textbf{c.~~} une parabole& 
\textbf{d.~~} une autre courbe
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{B.}L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. 

Soient les vecteurs $\vect{u}(1~;~1~;~1)$ et $\vect{v}(1~;~1~;~3)$.
 
\textbf{B. 1.}  Le produit scalaire de $\vect{u}$ par $\vect{v}$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} $- 1$& 
\textbf{b.~~} $\vect{v}$& 
\textbf{c.~~} 5& 
\textbf{d.~~} $-\vect{w}(2~;~- 2~;~0)$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\textbf{B. 2.}  On considère la droite $D_{1}$ définie par le point I(1~;~0~;~0) et le vecteur $\vect{u}$ ainsi que la droite $D_{2}$ définie par le point J(O~;~1~;~0) et le vecteur $\vect{v}$. 

Ces deux droites sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} parallèles& 
\textbf{b.~~} sécantes& 
\textbf{c.~~} orthogonales& 
\textbf{d.~~} non coplanaires et non orthogonales
\end{tabularx}
\medskip 

\textbf{B. 3.}   Le plan P passant par le point A(2~;~0~;~1) et dirigé par les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$, a pour équation cartésienne :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\textbf{a.~~} $x - 2z = 0$& 
\textbf{b.~~} $x + y - 2 = 0$& 
\textbf{c.~~} $z = 1$& 
\textbf{d.~~} $x - y - 2 = 0$
\end{tabularx} 

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On rappelle que tout point $M$ d'une sphère de centre O et de rayon $r$ est repéré par le triplet $(r~;~\theta~;~\varphi)$ où $r = \text{O}M,\: \theta$ est la longitude du point et $\varphi$ est sa latitude (en radians).
 
Soit $I$ l'inversion de pôle N(0~;~0~;~1) et de rapport 8.
 
On considère le plan $P$ défini par le point A$(0~;~0~;~-3)$ de vecteur normal $\vect{k}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $P$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'image du plan $P$ par l'inversion $I$, est la sphère $\sum$ de centre O et de rayon $r$ privée du point N. 
		\item Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\sum$.
	\end{enumerate} 
\item Soit le point B de coordonnées $\left(2\sqrt{3}~;~2~;~-3\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que B appartient au plan $P$. 
		\item Déterminer les coordonnées cartésiennes du point B$'$, image du point B par l'inversion $I$. 
		\item Montrer que les coordonnées sphériques du point B$'$ sont $\left(1~;~\frac{\pi}{6}~;~0\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Compléter la figure donnée en annexe en plaçant les points N, A et B$'$ sur la sphère $\sum$, le point A$'$ image de A par l'inversion $I$ et le point C$'$ dont les coordonnées sphériques sont $\left(1~;~\frac{\pi}{2}~;~0\right)$ 

Enfin, placer le point B en laissant apparents les traits de construction. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les caractéristiques du triangle sphérique A$'$B$'$C$'$ (on utilisera les notations usuelles). 
		\item Déterminer son aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe 1 : à rendre avec la copie}\end{center}

\medskip
 
\textbf{Exercice 1. Question 2. a.}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|X|}\hline 
$t$&\\ \hline 
Signe de $x'(t)$&\\ \hline 
$x(t)$&\\ \hline 
$y(t)$&\\ \hline 
Signe de $y'(t)$&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Exercice 1. Question 2. b.}

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A& B &C& D\\ \hline 
Paramètre& 0&$\frac{\pi}{6}$&$\frac{\pi}{3}$&$\frac{\pi}{2}$\\ \hline 
$x'(t)$	&&&&\\ \hline 
$y'(t)$	&&&&\\ \hline  
$x(t)$	&&&&\\ \hline  
$y(t)$	&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 1. Question 2. c. et 2. e.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=3.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.333)(2.6666,1.3333)
\multido{\n=-0.33333+0.16667}{19}{\psline[linestyle=dashed](\n,-1)(\n,1.333)}
\multido{\n=-1.00000+0.16667}{15}{\psline[linestyle=dashed](-0.333,\n)(2.666,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.333,-1.)(2.6666,1.3333)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
 
\begin{center}\textbf{Annexe 2 : à rendre avec la copie}\end{center}

\textbf{Exercice 2. Question B 4.} 

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6,-14)(6,7)
%\psgrid
\pscircle(0,0){3.5}
\rput{-100}(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc(0,0){3.5}{-180}{0}}}
\rput{-100}(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){3.5}{0}{180}}}
\rput(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc(0,0){3.5}{-180}{0}}}
\rput(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){3.5}{0}{180}}}
\psline(0,-3.5)(0,-15)
\psline[linestyle=dotted](0,3.5)(0,-3.5)
\psline[arrowsize= 3pt 5]{->}(0,3.5)(0,7)
\psline[linestyle=dotted](-3.42,0.8)(3.42,-0.8)
\psline(-3.42,0.8)(-6.84,1.6)
\psline[arrowsize= 3pt 5]{->}(3.42,-0.8)(6,-1.4)
\psline[linestyle=dotted](1.2,1)(0,0)(-1.2,-1)
\psline[arrowsize= 3pt 5]{->}(-1.2,-1)(-2.4,-2)
\uput[dl](-2.4,-2){$x$}
\uput[dr](5.7,-1.6){$y$}
\uput[r](0,6.9){$z$}
\uput[ur](0,3.5){1}
\uput[ul](-1.2,-1){1}
\uput[dr](3.4,-0.8){1}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}