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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Étude et réalisation d'agencement}}
\rfoot{\small{13 mai 2019}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 13 mai 2019\\[5pt] Étude et réalisation d'agencement}}
  
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 Étude Acoustique d'un local \hfill 10 points}

\medskip 

Un agence ur trouve que l'acoustique de son espace de travail est désagréable. Il suppose que cela provient d'un problème de réverbération et décide d'en étudier l'acoustique afin de la corriger. Il dispose pour cela d'un certain nombre de données : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+4\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}c|}{\textbf{Document 1 }: Informations sur la salle}\\
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+4\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}X|}{Son espace de travail est un espace ouvert composé d'une salle rectangulaire de largeur 6 m, de longueur 10 m. La hauteur sous plafond est de 3 m.}\\\hline\hline 
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+4\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}c|}{\textbf{Document 2} : Réglementation : NF S31-080 \og Bureaux et espaces associés \fg}\\
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+4\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}X|}{Les temps de réverbération $T_R$ (exprimés en secondes) à respecter dans les locaux}\\ \hline
					&Niveau				& Niveau			&Niveau\\
					&\og courant\fg   	&\og performant \fg	&\og très performant \fg\\ \hline
Bureaux individuels	&--&$T_R \leqslant 0,7$ s&$T_R \leqslant 0,6$ s\\ \hline
Bureaux collectifs	&$T_R \leqslant 0,6$ s&$T_R \leqslant 0,6$ s&$T_R \leqslant 0,5$ s\\ \hline
Espaces ouverts  

vol. $< 250$ m$^3$	&$T_R \leqslant 0,8$	&$0,6 < T_R < 0,8$~s	&$T_R \leqslant 0,6$ s\\ \hline
Espaces ouverts 

vol. $> 250$ m$^3$	&  $T_R < 1,2$~s		&$T_R \leqslant  1$~s	&$T_R \leqslant 0,8$~s\\ \hline
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+2\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}X|}{Le temps de réverbération $T_R$ (en seconde) est la durée nécessaire pour que le niveau sonore dans une pièce décroisse de $60$~dB après extinction de la source. Cette valeur de $60$~dB équivaut à une impression de disparition du son.}\\ \hline\hline
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+4\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}c|}{\textbf{Document 3} : Formule de Sabine }\\
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+4\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}c|}{$T_R = 0,16 \dfrac{V}{A}$}\\
\multicolumn{4}{|>{\hsize=\dimexpr4\hsize+4\tabcolsep+\arrayrulewidth\relax}X|}{où $T_R$ est le temps de réverbération (en seconde), $V$ est le volume de la salle en m$^3$, et $A$ la   surface équivalente d'absorption de la salle en m$^2$}.\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A. Détermination expérimentale du temps de réverbération avant correction}

\medskip

 On a mesuré la décroissance du niveau sonore dans cette salle et obtenu les résultats suivants: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $\left(x_i\right)$ en secondes&   0   &0,1&   0,2   &0,3   &0,4   &0,5   &0,6\\ \hline
Niveau sonore $\left(y_i\right)$ en dB   &65&   57&   52&   41&   36&   28&   21\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, 
	\begin{enumerate}
		\item déterminer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique à deux variables. Un ajustement linéaire vous semble-t-il approprié ? Justifier. 
		\item donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$) 
	\end{enumerate}
\item En supposant que la décroissance du niveau sonore se poursuive de manière analogue dans le temps, calculer l'instant $T_0$ correspondant à un niveau sonore de $5$ dB. (On justifiera et on arrondira le résultat au centième.) 
\item Justifier que le temps de réverbération $T_R$ de la salle est approximativement égal à $T_0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Calcul de la surface équivalente d'absorption avant correction}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $V$ de la salle. 
\item On admet que le temps de réverbération $T_R$ de la salle est de $0,81$ secondes. La réglementation est-elle respectée ? (On justifiera à l'aide des documents.) 
\item En déduire la valeur $A$ de la surface équivalente d'absorption de la salle avant correction acoustique arrondie au m$^2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Détermination théorique du temps de réverbération après correction}

\medskip 

Wallace Clément Sabine (1868-1919) a établi que, lorsqu'on suppose le champ acoustique idéalement diffus, l'énergie réverbérée, notée Y (exprimée en $W.m^2$) est uniforme en tout point de l'espace, à un instant $t$ donné en seconde et est donc solution de l'équation différentielle 
suivante :

\[Vy' + \dfrac{cA}{4}y = 0\]

avec : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $V$ le volume de la salle en m$^3$, 
\item[$\bullet~~$] $c$ la célérité du son, qui vaut $c \approx  343 m.s^{-1}$ pour une température de $20$~\degre C. 
\item[$\bullet~~$] $A$ la surface équivalente d'absorption de la salle. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans cette partie, après correction acoustique, la valeur de $A$, calculée à partir des coefficients de Sabine des matériaux envisagés, est estimée à $50$ m$^2$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'énergie réverbérée est solution de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ : 

\[y' + 23,8y = 0.\] 

\item Résoudre l'équation $\left(E_0\right)$ dans $[0~;~ + \infty[$. 
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation $\left(E_0\right)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 104$. 
\item On admet que le temps de réverbération après correction acoustique est solution de l'équation $f\left(T_R\right) = 1,6 \times 10^{-2}$ (ce qui correspond à une énergie réverbérée quasi nulle). 

Résoudre cette équation et conclure par rapport au confort acoustique obtenu. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : Correction acoustique à l'aide de plaques perforées \hfill 10 points}

\medskip 

On décide d'améliorer l'acoustique du local précédent par la pose de plaques en MDF perforées et, pour des raisons esthétiques et techniques, on choisit un modèle carré de côté $900$~mm, perforé de manière régulière par des trous circulaires de 8 mm de diamètre. Dans ce qui suit, les résultats approchés seront arrondis à $10^{-2}$.

\smallskip 

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.} 

\bigskip

\textbf{Partie A. Calcul du pourcentage de perforation}

\medskip 

Chaque plaque est composée d'une planche de MDF, percée régulièrement de trous de $8$ mm de diamètre, espacés chacun de $10$~mm selon le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
\begin{pspicture}(0,1.4)(8,8)
%\psgrid
%\psset{linecolor=red}
\psline(8,7)(2.6,7)(2.6,1.6)
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.6)(8,1.6)(8,7)
\multido{\na=2.5+1.8}{3}{
\multido{\n=3.5+1.8}{3}{\pscircle(\n,\na){0.4}\psdot(\n,\na)}}
\psline{<->}(2.6,7.5)(3.1,7.5)\uput[u](2.85,7.5){5}
\psline{<->}(3.1,7.5)(3.9,7.5)\uput[u](3.5,7.5){8}
\psline{<->}(3.9,7.5)(4.9,7.5)\uput[u](4.4,7.5){10}
\psline{<->}(4.9,7.5)(5.7,7.5)\uput[u](5.3,7.5){8}
\psline{<->}(1.8,2.5)(1.8,4.3)\uput[l](1.8,3.4){18}
\psline{<->}(1.8,4.3)(1.8,6.1)\uput[l](1.8,5.2){18}
\psline{<->}(1.8,6.1)(1.8,7)\uput[l](1.8,6.55){9}
\psline{<->}(1,1.6)(1,7)\rput(0.1,4.5){$18 \times X$}
\rput(0.1,4){\scriptsize où $X$ est le}
\rput(0.1,3.6){\scriptsize  nombre de trous}
\psline[linewidth=0.2pt](1.8,6.1)(3.5,6.1)
\psline[linewidth=0.2pt](1.8,4.3)(3.5,4.3)
\psline[linewidth=0.2pt](1.8,2.5)(3.5,2.5)
\psline[linewidth=0.2pt](3.1,6.1)(3.1,7.5)
\psline[linewidth=0.2pt](3.9,6.1)(3.9,7.5)
\psline[linewidth=0.2pt](4.9,6.1)(4.9,7.5)
\psline[linewidth=0.2pt](5.7,6.1)(5.7,7.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer le pourcentage de perforation du type de plaques choisi, c'est à dire le rapport (exprimé en pourcentage) entre la surface de vide généré par le perçage et la surface totale de départ. 

\bigskip

\textbf{Partie B. Probabilité conditionnelle} 

\medskip

Le stock de plaques du fournisseur choisi provient de deux usines différentes: l'usine A et l'usine B.

L'usine A a fourni 70\,\% du stock tandis que l'usine B a fourni les 30\,\% restants. 

On estime que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de l'usine A soit conforme est égale à $p_1 = 0,973$ et que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de l'usine B soit conforme est égale à $p_2 = 0,894$. 

On prélève au hasard une plaque dans le stock du fournisseur. 

Toutes les plaques ont la même probabilité d'être choisie. 

On définit les évènements suivants: 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og la plaque provient de l'usine A \fg 
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og la plaque provient de l'usine B \fg 
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og la plaque est conforme\fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du sujet, déterminer les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(C)$ et $P_B(C)$. 

(On rappelle que $P_A(C)$ désigne la probabilité de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.) 
\item Déterminer les probabilités $P(A \cap C)$ et $P(B \cap C)$. On justifiera à l'aide d'une formule ou d'une des représentations suivantes, en la recopiant le cas échéant: 

\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=0.3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$A$~~}\taput{\ldots}}
	{
	\TR{$C$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$C$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&$C$	&$\overline{C}$	&Total\rule[-3pt]{0mm}{6mm}\\ \hline
$A$		&		&				&\\ \hline
$B$		&		&				&\\ \hline
Total	&		&				&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\end{center}


\item En déduire la probabilité que la plaque prélevée soit conforme. 
\item Quelle est la probabilité qu'une pièce non conforme provienne de l'usine A ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Loi binomiale}

\medskip 

Dans le stock du fournisseur, on prélève au hasard les $20$ plaques nécessaires à la correction acoustique de la salle. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $20$~produits. 

On note $S$ l'évènement : \og une plaque prélevée au hasard dans cette livraison n'est pas conforme \fg. On admet que $P(S) = 0,05$. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $20$~plaques, associe le nombre de plaques non conformes dans ce lot. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n =  20$ et 
$p = 0,05$. 
\item Calculer $P(X = 0)$. Interpréter ce résultat dans le contexte. 
\item Traduire en notation mathématique la probabilité que, dans un tel lot, il y ait au plus $2$~plaques non conformes et calculer cette probabilité. 
\item Calculer $E(X)$. Interpréter ce résultat dans le contexte. 
\end{enumerate}
\end{document}