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%Sujet aimablement fourni par Brigitte Bourgouin
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement E},
pdftitle = {9 mai 2017 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\footnotesize{Groupement E : Concepteur en art et industrie céramique,\\Design de communication espace et volume,\\ Design d'espace, Design de produits}}
\rfoot{\small{9 mai 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 9 mai 2017\\ Groupement E }}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

La boîte de nuit \og Le cube \fg{} a besoin d'entreprendre des travaux de rénovation de ses
locaux. Le bâtiment est constitué d'un cube tronqué, représenté sur les schémas ci-dessous.

La partie hachurée sur la figure 2 est une verrière.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(7,6.5)
\psframe(1,1)(4,4)%ABFE
\psline(4,1)(5.3,2.2)(5.3,5.2)(4,4)%BCGF
\psline(5.3,5.2)(2.3,5.2)(1,4)%GDE
\psline[linestyle=dotted](1,1)(2.3,2.2)(2.3,5.2)%AOD
\psline[linestyle=dotted](2.3,2.2)(6.3,2.2)%OC
\uput[d](1,1){A} \uput[d](4,1){B} \uput[dr](5.3,2.2){C} \uput[l](2.3,5.2){D} 
\uput[ul](1,4){E} \uput[u](4,4){F} \uput[ur](5.3,5.2){G} \uput[ur](2.3,2.2){O} 
\uput[u](2.5,4){P} \uput[dr](4,3.25){Q} \uput[u](4.65,4.6){R}
\rput(0.2,0.2){$x$}\rput(6.4,2.2){$y$}\rput(2.3,6.3){$z$} 
\psline{->}(1,1)(0.3,0.3)\psline{->}(5.3,2.2)(6.3,2.2)\psline{->}(2.3,5.2)(2.3,6.2)  
\rput(3.5,-0.5){Figure 1}
\psdots(4.65,4.6)(2.5,4)(4,3.25)
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(7,6.5)
\psframe(1,1)(4,4)%ABFE
\psline(4,1)(5.3,2.2)(5.3,5.2)(4,4)%BCGF
\psline(5.3,5.2)(2.3,5.2)(1,4)%GDE
\psline[linestyle=dotted](1,1)(2.3,2.2)(2.3,5.2)%AOD
\psline[linestyle=dotted](2.3,2.2)(6.3,2.2)%OC
\uput[d](1,1){A} \uput[d](4,1){B} \uput[dr](5.3,2.2){C} \uput[l](2.3,5.2){D} 
\uput[ul](1,4){E} \uput[u](4,4){F} \uput[ur](5.3,5.2){G} \uput[ur](2.3,2.2){O} 
\uput[u](2.5,4){P} \uput[dr](4,3.25){Q} \uput[u](4.65,4.6){R}
 \rput(3.5,-0.5){Figure 2}
\pspolygon[fillstyle=vlines](2.5,4)(4,3.25)(4.65,4.6)
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\end{center}

L'objectif de cet exercice est d'étudier les propriétés de la verrière dans le cadre de sa
rénovation puis de représenter le bâtiment en perspective afin de préparer un prospectus
publicitaire en vue de la réouverture à l'issue des travaux.

\medskip

Description de l'objet :

\setlength\parindent{1.2cm}
\begin{itemize}
\item l'arête du cube mesure 24 m ;
\item P est le milieu de [EF], R est le milieu de [FG] ;
\item Q est le point de [BF] vérifiant FQ = $\dfrac{1}{4}$ FB.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\textbf{Partie A : Étude de la verrière}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que PR $= 12 \sqrt{2}$ et que PQ = QR $= 6\sqrt{5}$ (l'unité de longueur est le mètre).
		\item Représenter la verrière, c'est-à-dire le triangle POR, à l'échelle $1/200$.
	\end{enumerate}
\item L'espace est muni d'un repère orthonormé (O~;~I,\:J,\: K) où I, J et K sont les points situés
respectivement sur les segments [OA], [OC] et [OD] tels que OI = OJ = OK = 1~m.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées de P, Q et R lues sur la figure 1.
		\item Vérifier que $\vect{\text{PQ}}(0,~12,~- 6)$ et $\vect{\text{PR}}(- 12,~12,~0)$.
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{PQ}} \cdot \vect{\text{PR}}$.
		\item En déduire la valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{QPR}}$ arrondie au dixième de degré.
	\end{enumerate}
\item On rappelle la formule suivante.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,3.9)
\psframe(10.5,3.9)
\pspolygon(3.3,1.8)(7.8,1.8)(4.5,3.4)
\uput[l](3.3,1.8){B}\uput[r](7.8,1.8){C}\uput[u](4.5,3.4){A}
\uput[d](5.55,1.8){$a$}\uput[ul](3.9,2.6){$c$}\uput[ur](6.15,2.6){$b$}
\rput(5.25,0.5){L'aire $\mathcal{A}$ du triangle ABC est donnée par : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} bc \sin \widehat{\text{A}}$}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant l'arrondi précédent, déterminer l'aire de la verrière (donner le résultat en m$^2$,
arrondi au dixième).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Représentation en perspective}

\medskip

La représentation en perspective centrale du bâtiment est commencée en annexe 1. Trois
arêtes du cube y sont représentées, ainsi que la ligne d'horizon avec comme plan frontal le
plan (AEB). On note \texttt{a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f,\, g,\, o,\, p,\, q,\, r} les images respectives des points A, B, C, D, E, F, G, O, P, Q, R dans cette représentation en perspective centrale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale en annexe 1, en
laissant apparents les traits de construction.
\item On note \texttt{e} et \texttt{d} les images respectives de E et D dans la représentation en perspective.

Comment s'appelle le point d'intersection de la droite (\texttt{ed}) et de la ligne d'horizon ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Un designer décide de concevoir une chaise longue adaptée au profil du corps humain. Pour
cela, il va modéliser la chaise à l'aide de deux courbes de Bézier, $\mathcal{C}_1$ pour l'assise et $\mathcal{C}_2$ pour la base.

\smallskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points P$_0(0~;~9)$ ;
P$_1(5~;~- 5)$ ; P$_2(9~;~8)$ et P$_3(12~;~1)$.

La courbe de Bézier $\mathcal{C}_1$, définie par ces quatre points de contrôle est tracée sur la figure donnée en annexe 2. Sur cette courbe est placé le point A utilisé à la question \textbf{6.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points P$_0$, P$_1$, P$_2$ et P$_3$ sur la figure donnée en annexe 2.
\item Quelle(s) tangente(s) à la courbe $\mathcal{C}_1$, peut-on connaître sans effectuer aucun calcul ?

Justifier la réponse.
\item Pour créer la base de cette chaise, le designer considère la courbe de Bézier $\mathcal{C}_2$ définie par les points de contrôle P$_0$(0~;~9) ; P$_4(1~;~- 3)$ et P$_3(12~;~1)$. 

Cette courbe est l'ensemble des points $M(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\[\vect{\text{O}M(t)} = (1 - t)^2 \vect{\text{OP}_0} + 2t(1 - t) \vect{\text{OP}_4} + t^2 \vect{\text{OP}_3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de la courbe 
		$\mathcal{C}_2$ ont pour expression : 
		
		\[x = f(t) = 10t^2 + 2 t\quad \text{et}\quad y = g(t) = 16t^2 - 24t+ 9.\]
		
		\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par :
		
\[f(t) = 10t^2 + 2t\quad  \text{et}\quad  g(t) = 16t^2 - 24t + 9.\]
		
Rassembler les résultats dans un tableau unique.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}
		
\medskip
		
La courbe $\mathcal{C}_2$ admet au point obtenu pour $t = 0$, une tangente de vecteur directeur :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$17\vect{\jmath}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}&$9\vect{\jmath}$&$\vect{\imath} - 12\vect{\jmath}$&$- 24\vect{\imath} + 9\vect{\jmath}$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ ont-elles la même tangente au point P$_3$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Sur le graphique de l'annexe 2 :
	
\setlength\parindent{1,2cm}
\begin{itemize}
\item tracer les tangentes à $\mathcal{C}_2$ aux points obtenus pour $t = 0$,\: $t = \dfrac{3}{4}$ et $t = 1$ ;
\item tracer la courbe $\mathcal{C}_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\item Pour éviter le basculement, la chaise doit respecter une contrainte.

On considère le point A qui a été placé sur la courbe $\mathcal{C}_1$, (voir annexe 2). On admet que la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_1$ est horizontale et que l'abscisse de A est environ 5,46.

On considère le point B de la courbe $\mathcal{C}_2$ en lequel la tangente est horizontale.

L'écart entre les abscisses de A et B ne doit pas dépasser 1,8. Cette contrainte est-elle
respectée ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,16)
\psline(8.7,3)(3,3)(3,8.7)(3.7,10)
\uput[d](8.7,3){\texttt{b}}\uput[d](3,3){\texttt{a}}\uput[ul](3,8.7){\texttt{e}}
\uput[ul](3.7,10){\texttt{d}}
\psline(0,12.6)(12,12.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1,-5.5)(13,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=0.5pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(0,-5.5)(12.95,9.95)
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\psBezier3[linecolor=red](0,9)(5,-5)(9,8)(12,1)
\psdots(5.45693,2.15142)
\uput[u](5.45693,2.15142){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}