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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Conception de produits industriels session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E)~~:\quad  y'' - y = (- 4x - 6)\text{e}^{-x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right)~~:\quad  y'' - y = 0.\]

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \left(x^2 + 4x\right)\text{e}^{-x}$. Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 3$ et $f'(0) = 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie par $x \longmapsto \text{e}^{-x}$.
		\item  En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :

\[f(x) =  3 + x - \dfrac{3}{2}x^2 + x^2 \epsilon(x)\: \text{avec}~ \lim_{x \to 0}  \epsilon(x) = 0.\]

	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item  Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse~$0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{A.  Étude des variations d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal où l'unité graphique est 2 cm est donnée ci-dessous.
  
\bigskip
\psset{unit=1.714cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(5,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-4)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-4)(5,2)
\uput[ul](0,-2){A} \uput[ul](2,0){B} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[u](3.5,0.1){\blue $\mathcal{C}$} 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.48}{5}{x 2 sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A et B de coordonnées respectives $(0~;~-2)$ et (2~;~0).

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.

\begin{center}\textbf{Dans la suite de cet exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par }\boldmath $f(x) = (x - 2)\text{e}^{-x}$.\unboldmath \end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,\: f'(x) = (3 - x)\text{e}^{-x}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item  Établir le tableau de variations de $f$.
		
Dans ce tableau, on ne demande pas de faire figurer les limites.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Calcul intégral}

\medskip

On note $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I= - 1 - \text{e}^{-2}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire la valeur exacte de l'aire $S$ en cm$^2$ de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées et la courbe $\mathcal{C}$ entre les points A et B d'abscisses respectives $0$ et $2$.
		\item  Donner la valeur approchée de $S$ arrondie à $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres.

On appelle courbe de Bézier définie par les points de définition $A_{i}(0 \leqslant  i \leqslant n)$ l'ensemble des points $M(t)$ tels que :

\[ \vect{\text{O}M(t)} = \displaystyle\sum_{i = 0}^n B_{i,~n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}~\text{où}~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i t^i  (1 - t)^{n-i}.\]

\medskip

\emph{A. Construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{1}$

\medskip

Dans cette question, on s'intéresse à la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par les quatre points de définition A(0~;~1) ; B(2~;~1) ;  C(0~;~ 2) ; D(0~;~4), dans cet ordre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout $t$ de [0~;~1], $B_{1,~3}(t) = 3t - 6t^2 + 3t^3$.
\item  On admet que, pour tout $t$ de [0~;~1]

$B_{0,~3}(t) = 1 - 3t + 3t^2 - t^3~~; ~~B_{2,~3}(t) = 3t^2 -  3t^3$ et $B_{3,~3}(t) = t^3$.

En déduire qu'un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ est :

\[\left\{\begin{array}{l c l c r}
  x &=&f_{1}(t)&	= &6t - 12t^2 + 6t^3\\ 
y &=& g_{1}(t)& =& 1 + 3t^2\phantom{~+ 6t^3}\\
\end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\]
   
\item  Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0 ; 1]  et rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item  Préciser les coordonnées des points de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ où les tangentes sont parallèles aux axes de coordonnées.
\item  Montrer que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point A.
\item  Tracer la tangente (AB) et la courbe $\mathcal{C}_{1}$ dans le repère donné au début de l'énoncé.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude géométrique et construction d'une courbe de Bézier} $\mathcal{C}_{2}$

\medskip

On considère la courbe  de Bézier $\mathcal{C}_{2}$ définie par les trois points de définition E$(- 2~;~0)$ ; F$(- 3~;~1)$
et A(0~;~1) dans cet ordre.

\begin{center}
\textbf{Les deux résultats suivants n'ont pas à être démontrés.}\end{center}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ est :
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x &=&f_{2}(t)	&= 	&- 2 - 2t + 4t^2\\ 
y &=&g_{2}(t)	&=	& \phantom{-}2t \phantom{- 2t} - t^2\\
  \end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}.\] 
\item[$\bullet~$] Le tableau de variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant :
\end{itemize}
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7)
\psframe(8,7) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5) 
\psline(0,6)(8,6)  \psline(2,0)(2,7)
\rput(1,6.5){$t$} \rput(2.15,6.5){$0$}\rput(5,6.5){$\dfrac{1}{4}$}
\rput(7.8,6.5){1} \rput(1,5.5){$f'_{2}(t)$} \rput(2.2,5.5){$-2$}
\rput(3.5,5.5){$-$} \rput(5,5.5){$0$} \rput(6.5,5.5){$+$} \rput(7.8,5.5){$6$}
\rput(1,4){$f_{2}(t)$}\rput(2.3,4.7){$-2$} \rput(5,3.2){$-2,25$}\rput(7.8,4.8){$0$}
\rput(1,2.5){$g'_{2}(t)$}\rput(2.2,2.5){2} \rput(5,2.5){$+$} \rput(7.8,2.5){$0$}
\rput(1,1){$f_{2}(t)$}\rput(2.2,0.2){$0$}\rput(7.8,1.8){$1$}
\psline{->}(2.6,4.7)(4.5,3.3) \psline{->}(5.5,3.3)(7.6,4.7)
\psline{->}(2.4,0.2)(7.7,1.8)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur la figure de la partie A le point $M_{0}$ tel que $\vect{\text{E}M_{0}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{EF}}$, le point $M_{1}$ tel que $\vect{\text{F}M_{1}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{FA}}$ et le point $R$ tel que $\vect{M_{0}R} = \dfrac{1}{2}\vect{M_{0}M_{1}}$.
\item Calculer les coordonnées des points $M_{0},~ M_{1}$  et $R$.
\item Montrer que le point $R$ est le point de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de paramètre $\dfrac{1}{2}$.
\item Montrer que la droite (AF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point A.
\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente au point A.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ sur la même figure que la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
\end{enumerate}
\end{document}