\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité gestion}, pdftitle = {2000}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur } \rhead{\small Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité gestion}} \rfoot{\small{Session 2000}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ Comptabilité gestion mai 2000} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Une entreprise envisage la fabrication d'un nouveau produit. Elle étudie la demande pour ce nouveau produit, afin d'essayer de déterminer le prix de vente qui lui permettra d'obtenir la plus grande recette possible. \begin{center} {\large \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}}\end{center} \textbf{Partie A : Étude statistique} \medskip \textbf{Pour cette partie, dans les questions 2 et 3, on utilisera les fonctions de la calculatrice. Le détail des calculs n'est pas demandé.} \medskip Dans le tableau suivant, figure une partie des résultats d'une enquête réalisée pour déterminer le nombre d'acheteurs potentiels de ce nouveau produit en fonction de son prix de vente. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix de vente en F : $x_i$ & 200 &250 &300 &350 &450 &500\\ \hline Nombre d'acheteurs potentiels : $y_i$ & 632 &475 &305 &275 &266 &234\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de variable $z_i = \ln y_i$. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs T$_1$ donné sur l'annexe ; les valeurs de $z_i$ seront arrondies à $10^{- 3}$ près. \item Donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près, du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$. Le résultat obtenu permet d'envisager un ajustement affine. \item Donner, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, sous la forme $z = ax + b$\: ($a$ sera donné à $10^{- 4}$ près par excès et $b$ à $10^{-2}$ près par excès). \item En déduire une estimation du nombre d'acheteurs potentiels $y$, en fonction de $x$, sous la forme $y = k \text{e}^{ - \lambda x}$ où $k$ et $\lambda$ sont des constantes ($k$ sera arrondi à l'entier le plus proche). \item Utiliser cette estimation pour déterminer le nombre d'acheteurs potentiels, si le prix de vente est fixé à $400$~F. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \medskip En vue d'une interprétation économique qui sera effectuée dans la partie C, on considère la fonction définie sur l'intervalle $I = [ 200~;~500]$ par \[f(x) = 950 x \text{e}^{ - 0,003x}.\] \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x$ élément de $I$,\: $f'(x) = 950 \left(1 - 0,003 x\right)\text{e}^{ - 0,003x}$. \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$. \item Compléter le tableau T$_2$ donné sur l'annexe. Construire, dans le repère donné sur l'annexe, la courbe représentative de $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Optimisation de la recette potentielle} \medskip On suppose, dans cette question, qu'une estimation du nombre d'acheteurs potentiels est $y = 950 \text{e}^{ - 0,003x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'une estimation de la recette en francs, en fonction du prix de vente $x$, est $f(x) = 950 x \text{e}^{ - 0,003x}$. \item En déduire une valeur approchée, arrondie au franc près, du prix de vente pour lequel la recette est maximale. Quel est, arrondi au millier de francs près, le montant de cette recette ? \item Déterminer graphiquement pour quelles valeurs du prix de vente $x$ la recette est supérieure à \np{111000}~F{}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Dans une entreprise, un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de gestion a été suivi par 25\,\% du personnel. Ainsi, la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans l'entreprise ait suivi ce stage est $p = 0,25$. \medskip \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{Partie A :} \medskip On choisit au hasard $n$ personnes de cette entreprise. On suppose l'effectif suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, $n = 10$. On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout ensemble de 10 personnes ainsi choisies, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. Indiquer les paramètres de cette loi. \item Déterminer, à $10^{-2}$ près, la probabilité des évènements suivants : $E_1$ : \og Parmi 10 personnes choisies au hasard, exactement 2 personnes ont suivi le stage \fg ; $E_2$ : \og Parmi 10 personnes choisies au hasard, au plus une personne a suivi le stage \fg. \end{enumerate} \item Dans cette question, $n = 500$. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout ensemble de $500$ personnes ainsi choisies, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 500$ et $p = 0,25$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$. En donner une interprétation. Déterminer une valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$ près, de l'écart-type de la variable aléatoire $Y$. \item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $125$ et d'écart type $9,7$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant cette loi. En utilisant cette approximation, calculer la probabilité qu'au plus $120$ personnes, parmi les $500$ choisies au hasard. aient suivi le stage, c'est-à-dire $P(Z \leqslant 120,5)$. Donner ce résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans cette entreprise, le personnel comprend 52\,\% de femmes. L'évènement $F$ : \og une personne choisie au hasard dans l'entreprise est une femme \fg{} a donc pour probabilité $P(F) = 0,52$. On rappelle que 25\,\% du personnel a suivi le stage de formation à l'utilisation du nouveau logiciel de gestion. L'évènement $S$ : \og une personne choisie au hasard dans l'entreprise a suivi le stage \fg{} a donc pour probabilité $P(S) = 0,25$. Enfin, 40\,\% du personnel féminin de cette entreprise a suivi le stage. La probabilité conditionnelle correspondante est $P(S/F) = 0,4$ ou $P_F(S) = 0,4$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : \og une personne choisie au hasard dans l'entreprise est une femme et a suivi le stage\fg. \item Calculer la probabilité de l'évènement $B$ : \og une personne choisie au hasard parmi les personnes ayant suivi le stage est une femme \fg. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 1} \bigskip \textbf{Partie A} \begin{center} Tableau de valeurs T$_1$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix en F : $p_i$ &200 &250 &300 &350 &450 &500\\ \hline $z_i = \ln y_i$ &6,449 &6,163 & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Partie B} \begin{center} Tableau de valeurs T$_2$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &200 &250 &300 &350 &450 &500\\ \hline $f(x)$ &\np{104000}& & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}